湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：杨超 审题人：马海俊 考试时间：2024年11月13日 15：00-17：00
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出集合A，再由集合包含关系进行求解实数a的取值范围即可.
【详解】由题，
因为，所以且，故.
故选：A.
3. 已知，，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，充分性成立，
时，可能有，此时，即不一定成立，必要性不满足，
所以是充分不必要条件，
故选：A．
4 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可.
【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：C.
5. 若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式的性质将原式变形为，进而求出的范围.
【详解】因为，，，则，
当且仅当时，等号成立，
即 ，
解得 ，或 （舍），
解得，
故选：C.
6. 从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精．
【详解】第次时共倒出了纯酒精升，
第次倒出后容器中含纯酒精为升
第次倒出的纯酒精是升
所以倒出第次时，共倒出了纯酒精
故选：C
7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.
【详解】因为为偶函数，故即，
而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数，
而即为，
故，故或，
故选：C.
8. 已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可；
【详解】由函数fx−1的图象关于直线对称，可得，
即，为偶函数，
由得，即是以4为周期的偶函数，
所以，
由,令可得，
所以.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】通过反例可说明BD错误；根据不等式的性质可证明AC正确.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于B，若，，则，B错误；
对于C，，，又，，C正确；
对于D，若，，，，则，，，D错误.
故选：AC.
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若幂函数的图象经过点，则
C. 若奇函数在有最小值，则在有最大值
D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数
【答案】CD
【解析】
【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项.
【详解】A选项：，设，
则，，
即，，A选项错误；
B选项：设幂函数，过点，则，
解得，所以，则，B选项错误；
C选项：由已知为奇函数，则f−x=−fx，
在0,+∞有最小值，即，，
则时，，即，
即在有最大值，C选项正确；
D选项：由已知为偶函数，
又在0,+∞是减函数，设，，，
则，，，故， 故
即在是增函数，D选项正确；
故选：CD.
11. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 不等式的解集为
C. 当时，
D 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对AB，作出函数的图象，易判断AB；对C，根据函数图像平移的方法判断即可；对D，根据判断即可.
【详解】对A，作出函数的图象，如图实线部分：
由图可知，且其图象关于轴对称，函数偶函数，故A正确；
对B，，再计算得，
解集为，故B错误；
对C，再作出函数的图象，为往右平移2个单位，
易得当时，.故C正确；
对D，由图知，当时，，
又因为，故，故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数的单调递减区间为__________.
【答案】(端点开闭都正确)
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案.
【详解】由，可得，解得，
所以函数的定义域为，
设，，
外函数为上的增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，
函数的对称轴为，其开口向下，
故其减区间为.
故答案为：.
13. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性列方程组即可得解.
【详解】依题意，，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
又，
所以，即，
两式相加得.
故答案为：
14. 已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象分析，可得．
【详解】所画出函数的图象
有且仅有不相等的三个正数使
由图分析可得
令
则，，
若存在，使得，令，则
为的两根，为的两根
，且
的范围是
故答案为；
【点睛】本题考查分段函数函数图象，数形结合思想，属于一般题．
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 已知集合，的定义域为集合，为实数集．
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由函数有意义，列不等式组求得集合，即可求得；
（2）先求出，再由德摩根定律，求出，即得.
【小问1详解】
由可得，或，则或，
由有意义，可得，即，故，
则；
【小问2详解】
由（1）可得，或，
由德摩根定律可知，.
16. 已知函数．
（1）计算；
（2）用函数单调性的定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递减；
（3）若函数定义域为(1,+∞)，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据，可将原式化简，即可求解；
（2）根据减函数定义，可证明；
（3）由（2）知在区间(1,+∞)上单调递减，列出方程组即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，且，
则，
因为，则，，
则，故在上单调递减；
【小问3详解】
由（2）得在上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以可得，即所求范围是
17. 已知
（1）若在区间恒成立，求的取值范围；
（2）当时，是否存在点，使得 的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先进行参变分离，再结合基本不等式求最值即可求解；
（2）将问题转化为为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解.
【小问1详解】
解：由题，在恒成立，
即恒成立，
因，等号在时取得，
则；
【小问2详解】
解：时，，
若存在对称中心，则为奇函数，
，
因为奇函数，
则，
所以存在点为
【点睛】关键点睛：恒成立求参数范围问题关键是利用参变分离将恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式或者二次函数求最值.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调减区间为
（2）或
【解析】
【分析】（1）代入，将表达为分段函数判断即可；
（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数在上最大值，最小值，再结合函数函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可.
【小问1详解】
当时，，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，
∴的单调递减区间为
【小问2详解】
当时，，
故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值.
当且时，有，解得，故，
当且时，由，解得，故，
∵，
∴，
∴，
∴或.
19. 表示不超过的最大整数，例.已知函数，.
（1）求函数的定义域；
（2）求证：当且时，总有，并指出当为何值时取等号；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，当时取等号；
（3）
【解析】
【分析】（1）、求出函数的解析式，再根据分母不为零求定义域即可；
（2）、求出，结合即可得证；当为整数时等号成立，解出即可;
（3）、求出表达式，在定义域内分，，，，五种情况，求出的范围即可.
【小问1详解】
,..
由，则，函数的定义域;
【小问2详解】
证明：,,
当且时，,
而，.
当整数，即时取等号.
【小问3详解】
,.,.
,.且.
①、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
②、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
③、当时，则，，，；
④、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
⑤、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
综上所述：