湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：陈国兵 审题人：饶雨
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则用列举法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得可为、，计算即可得.
【详解】由题意可得可为、，
即可为，即.
故选：B.
2. 设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以.
令，即，解得或，
所以推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A. 1B.
C. 1或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.
【详解】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选：B
4. 已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用的单调性可得，进而可得.
【详解】由得，
设，因函数与都是上的增函数，
故为上的增函数，
又因，故，
， 故A正确，
因，，与1的大小都不确定，故B，C，D错误，
故选：A
5. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理可得.
【详解】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法，
第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法，
故满足条件的“五位凹数”个，
故选：A
6. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.
【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，故A、C错；，
则，
故B对；
，
故D错．
故选:B．
7. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率.
【详解】由题意可知：，
设，

因为，则，可得，
由椭圆定义可知：，即，
整理可得；
又因为，则∥，且，
则，可得，
由椭圆定义可知：BF1+BF2=2a，即，
整理可得；
即，可得，
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法
求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
8. 圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】选择（角）与内切球半径为变量，可表示出圆锥底面半径和母线，由圆锥和球的表面积公式可得，再由换元，转化为求解二次函数值域，进而得的取值范围.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，
如图作出圆锥的轴截面，其中设为外接圆圆心，为切点，为圆锥母线，
连接.
设，，.
，，，又，
，，
，
则圆锥表面积，圆锥内切球表面积，
所求比值为，
令，则，
则，且当时，取得最大值，
故，即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，互斥，则B. 若，则，相互独立
C 若，互斥，则，相互独立D. 若，独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.
【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，
对于选项B，由相互独立事件概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，
对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，
对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，
故选：ABD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的值域为
C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是
D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.
【详解】因为，
所以，
所以的图象不关于点对称，故A错误；
当时，，
由可得，
当时，，
由可得，
综上，故B正确：
当时，由解得，
当时，由解得，
所以方程在上的前7个实根分别为，，，，，，，
所以，故C正确；
由解得或，
又因为，所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示，
所以有4个不同的实根，有2个不同的实根，
所以，解得，
设，则，，
所以，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A 对任意三点，都有；
B. 已知点和直线，则；
C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；
对于选项B，设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
对于选项D，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】A选项，设，由题意可得：
同理可得：，则：
，
则对任意的三点，，，都有；故A正确；
B选项，设点是直线上一点，且，
可得，
由，解得或，即有，当时，取得最小值；
由，解得，即有，的范围是，无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误；
C选项，设，则，
若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或
若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或，
故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；
D选项，定点、，动点满足（），则：，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当时，有，得：；
(2)当时，有，此时无解；
(3)当时，有；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.
故选：AD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________．
【答案】−2
【解析】
【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为，建立关于的方程求解可得.
【详解】因为的展开式的二项式系数和为，
所以，解得.
所以二项式展开式的通项公式为，
由，解得，
所以的系数为，解得.
故答案为：.
13. 已知函数在处取得极小值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为处函数极小值，可得，解得或，
若时，可得，
当时，；当时，；当时，，
此时函数在单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）；
若时，可得，
当时，；当时，；当时，，
此时函数在单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极小值，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可.
【详解】由题意构造，，
则有，，，．
因为，恒成立，
又的概率为0.5，
所以必有或者解得．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，再结合余弦定理得，从而可求解.
（2）结合的面积可求得，再由，平方后得，，再结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，所以，所以.
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；
（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【小问1详解】
设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
【小问2详解】
设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
因为点A、B在第一象限，所以，故，
设B关于x轴的对称点为，
则直线的方程为，
令得：
．
直线过定点．
【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
17. 如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上．
（1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；证明见解析.
（2）存在点，使得直线与平面所成的角为60°；此时二面角的余弦值为.
【解析】
【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；
（2）由二面角平面角定义可知，取，中点，，由线面垂直的判定和勾股定理可知，，两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
分别为中点，
，且，
又为中点，且，
易得，，
连接，交于点，连接，
由题设，易知四边形为平行四边形，
为中点，
是的中点，
为中点，
，又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
，
，，
又平面，平面，
即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量n1=x1,y1,z1，则，
令，则，，，
∵直线与平面所成的角为，
，解得或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；
设平面的法向量，又，，
，
令，则，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述：二面角的余弦值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.
18. 已知函数.
（1）当时，求图象在点1,f1处的切线方程；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2） （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为，求出函数的最大值得解；
（3）先构造函数，利用导数证明，，令，可得，迭代累加可证得结果.
【小问1详解】
当时，，f1=0，
则，则，
所以在点1,f1处的切线方程为.
【小问2详解】
由时，，
即，整理得，对恒成立，
令，则，
令，，
所以，即函数ℎx在上单调递减，
所以，即，
所以函数在上单调递减，则，
.
【小问3详解】
设，，
则，
所以φx在1,+∞上单调递减，则，即，
，，
令，，
可得，
所以，
，
，
…
，
以上式子相加得，
整理得，，
两边取指数得，，
即得，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数，利用导数证明，，令，得到.
19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”．
（1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；
（2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值；
（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）．
【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；
（2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由，则有，代入通项计算即可；
（3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则有，化简即可．
【小问1详解】
数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
【小问2详解】
由，可得，
即，即，
即，所以．
【小问3详解】
当时，由，可知．
又因为对任意，都有，
即当时，两两不相等．
因为
．
所以的最小值函数．
另外，当数列an的通项
间隔数列bn的通项时也符合题意．
【点睛】方法点睛：
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!