陕西省渭南市富平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份陕西省渭南市富平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共20页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，考试结束，将答题卡交回，二次函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．的相反数是（ ）
A．1B．C．D．
2．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点．若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
4．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他整别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ）
A．12B．15C．18D．20
5．如图，为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（）测得，则A、B间的距离应为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，为矩形的对角线，点分别是的中点，连接交于点，连接交于点．连接，则的值是（ ）

A．B．C．D．
8．二次函数（为常数）图象的对称轴为直线，将该二次函数的图象沿轴向下平移个单位，使其经过点，则的值为（ ）
A．3B．4C．2D．6
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由 形成的投影．（填“太阳光”或“灯光”）
10．关于x的一元二次方程有一个根为2，则m的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
12．已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为 ．
13．如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解方程：．
15．计算：．
16．如图，在中，，，，求和的值．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
(1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和；
(2)与的周长之比为______．
19．如图，转盘①被均匀地分成6个扇形，转盘②被均匀地分成3个扇形，利用这两个转盘进行“配绿色”游戏（黄色和蓝色配在一起为绿色），同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色．（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止）
① ②
(1)利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的情况；
(2)求能配出绿色的概率．
20．已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．
21．如图，在中，，D是的中点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
22．某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出压强关于木板面积的函数解析式；
(2)当木板面积为时，木板对地面的压强是多少？
23．某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现、若该款饮料的售价每瓶每降低元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多．该批发店决定每瓶降价元．当为多少时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？
24．晓华和小菲一起合作来测量某建筑物顶部广告牌的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端的影子在处，同时，晓华站在处的影长为，；然后，小菲在处测得楼房的顶端的仰角为，．晓华的身高，点在同一水平线上，点在上，，，根据以上测量方法和数据请求出广告牌的高．（参考数据：，，）
25．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练．如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处，实心球的落地点为处．
(1)如图，已知于点，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点的坐标为______；
(2)求出抛物线的解析式；
(3)已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离（即的长），则小明此次投掷的成绩是多少米？
26．【初步探究】
（）如图，在中，点分别在上，连接．已知四边形是平行四边形，．
①若，求线段的长；
②若的面积为，求平行四边形的面积．
【深入探究】
（）如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上．设矩形铁皮的边，矩形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求矩形面积的最大值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了特殊角的正切值，相反数，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
【详解】解：，的相反数是，
即的相反数是，
故选：D．
2．B
【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B.
3．A
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由平行线等分线段定理得到，解比例式即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：．
4．B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：a的值为；
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5．C
【分析】本题考查了正切函数的应用，根据题意，，变形计算即可．
【详解】根据题意，得，且，
故米，
故选C．
6．C
【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象分布，正确掌握图象分布的规律是解题的关键．
【详解】根据题意，一次函数得图象分布在第一，第三，第四象限，反比例函数的图象分别在第一，第三象限，
故选C．
7．D
【分析】本题考查了中位线的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由已知得到为的中位线，进而得到，，，由相似三角形得到，又由矩形可得，得到，即可求出，解题的关键在熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．B
【分析】根据题意可知a=3，由此可求出函数图像与y轴交点为（0，3），该点向下平移4个单位到，可知k=4．
【详解】解：由函数解析式，图象的对称轴为直线，可知，函数图像与x轴的交点为（1，0），（3，0），
即a=3，，
当x=0时，y=3，
即函数图像与y轴的交点为（0，3），
∵将（0，3）沿轴向下平移4个单位，可到达，
∴k=4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图像的基本性质，以及交点式、对称轴的应用、函数图像的平移，灵活运用所学知识是解题的关键．
9．太阳光
【分析】本题主要考查了平行投影与中心投影，两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点，此时为灯光形成的光线，此点为光源所在；两个物体与影长的对应顶点的连线平行，此时为太阳光形成的光线，由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行，即是平行投影，据此可得答案．
【详解】解：由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行，
∴这样得到的投影是平行投影，
∴这是由太阳光形成的投影，
故答案为：太阳光。
10．8
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．把方程的根代入方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得，，
故答案为：8．
11．
【分析】作轴于点，则，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，因为，，所以，，可得点C的坐标．
【详解】解：作轴于点，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，连接，
轴，
，
．
点A在反比例函数图象上，
，
，
且，
．
故答案为：．
13．##4厘米
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意设，列出二次函数表达式并求出最大值时自变量取值即可．
【详解】解：设，
，，
，
，
，
当时，的面积最大，
即当的面积最大时，的值为，
故答案为：．
14．．
【分析】根据公式法即可求解．
【详解】解：
a=3, b=-4, c=-1,
∴
方程有两个不相等的实数根
=
即．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知公式法的应用．
15．
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
16．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据余弦和正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
17．见解析
【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推导出△PCD为等腰三角形，即可知点P在线段CD的中垂线上．
【详解】解：∵△ABC∽△PCD，
∴,
∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上，
如图，点P即为所求.
【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键．
18．(1)作图见解析；
(2)
【分析】（）由点可得与的位似比为，再根据位似图形的性质作图即可；
（）根据位似图形的性质即可求解；
本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，
∴与的位似比为，
∴与的周长之比为，
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)P（配出绿色）
【分析】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意画出树状图；
（2）根据树状图及概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意画出树状图如下：
（2）解：一共有18种等可能出现的情况，其中配成绿色的（黄色和蓝色）共有3种，
所以，P（配出绿色）．
20．（1）见解析；（2）16．
【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：△=b2-4ac
=（-4）2-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0
解得：x1=-1，x2=3
即A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 (x-1)2-8
∴P(1，-8)
∴△ABP的面积=
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线与x轴没有交点．
21．(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
（2）根据，，根据即可求菱形ADCF的面积．
【详解】（1）证明：，且是的中点，
又
四边形是平行四边形．
平行四边形是菱形．
（2）解：平行四边形是菱形，
，
是的中点，
，
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
22．(1)
(2)当木板面积为时，木板对地面的压强是
【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果．
（1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式；
（2）将代入解析式，可求出P的值．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，
解得：，
与之间的函数表达式为：；
（2）解：当时， ，
故当木板面积为时，木板对地面的压强是．
23．当为元或元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．先求出每瓶降价元时，每天可售出的瓶数为瓶，售出1瓶该款饮料的利润是元，再根据利润为400元建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意可知，当每瓶降价元时，每天可售出的瓶数为瓶，售出1瓶该款饮料的利润是元，
则，
整理得：，
解得或，
答：当为元或元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元．
24．广告牌的高为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影的性质，先根据同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，可求出，再由三角函数可求出，利用线段的和差关系即可求出的高，掌握平行投影的性质及解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，，，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴广告牌的高为．
25．(1)图见解析，
(2)
(3)小明此次投掷的成绩是8米
【分析】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键，
（1）根据题意画出坐标系直接写出坐标即可；
（2）用待定系数法求出二次函数表达式；
（3）求C点横坐标即可；
【详解】（1）解：建立坐标系，如下图：
由题意得：；
（2）解：由题意得：抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
由抛物线经过点，
得，
解得，
；
（3）解：时，，
，（舍），
答：小明此次投掷的成绩是8米．
26．（）；；（），最大值为．
【分析】（）证明即可求解；利用相似三角形的性质分别求出和的面积，即可求解；
（）过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值．
【详解】解：（）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为；
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
∴平行四边形的面积为；
（）过点作于点，交于点，则，，，
∴，，
设，则，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当时，矩形面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．