四川省绵阳市三台县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（ ）
A. 120B. 200C. 150D. 100
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
4. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题被破解出的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
5. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（ ）
A. 从这10天日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3
D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是77.5
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的
B. 若A，B，C三点不共线，平面外一点，若，则P，A，B，C四点共面
C. 已知空间直角坐标系中的三点、、，则点到直线的距离为
D. 有2人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是
7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A. 1B. C. D.
8. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ）
A. B. 与相互独立C. D. A与互斥
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ）
A. 该组数据的极差为26
B. 该组数据的众数为18
C. 该组数据的75%分位数为19
D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
10. 如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（ ）
A. 向量，，共面
B. 平面
C. 若四面体各棱长均为4，则
D. 若是和交点，则对空间任意一点，有.
11. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（ ）
A. 若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组样本数据，，…的，则样本数据，，…，的方差为_____.
13. 在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．
14. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少?
16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
17. 在树人中学一次高二年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩70分，方差为30；乙班有60人，平均数为75，方差为40.
（1）学校打算根据本次成绩按照人数比例用分层随机抽样的方法，让甲乙两班一共选5人参加数学集训，由于集训后队员水平相当，再从参加集训的学生中随机抽取2人参加数学竞赛，求两人来自不同班级的概率；
（2）有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的平均成绩和方差，并判断此人说法是否正确.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求的长；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
19. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分概率；
（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
（3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.