浙江省杭州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

这是一份浙江省杭州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各事件是，是必然事件的是( )
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3B. 某同学投篮球，一定投不中
C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯D. 画一个三角形，其内角和为180∘
2.将二次函数y=(x-1)2+2的图象向上平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2-2B. y=(x-4)2+2C. y=(x-1)2-1D. y=(x-1)2+5
3.下列成语所描述的事件，是随机事件的是( )
A. 水涨船高B. 一箭双雕C. 水中捞月D. 一步登天
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若OD=10，BE=4，则CD的长为( )
A. 6
B. 16
C. 8
D. 12
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是( )
A. 1AC2，
∵Rt▵ACD中AC2=AD2+CD2，
∴4AB2>AD2+CD2，故 D选项一定不成立，
综上所述，选项一定成立的是B，
故选：B．
11.【答案】0,3
【解析】令x=0，求得y的值即可．
【详解】令x=0，得y=x2-4x+3=3，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为0,3，
故答案为：0,3．
12.【答案】10
【解析】直接把点P2,a代入到二次函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+3x的图象经过点P2,a，
∴a=22+3×2=4+6=10，
故答案为：10．
13.【答案】11(答案不唯一)
【解析】要确定点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系即可求解．
【详解】解：由题意，得OP>r
∵r=10cm
∴线段OP的长度可以为11cm．
故答案为：11(答案不唯一)．
14.【答案】95°
【解析】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴∠BAB'=50°，AB=AB'，∠AB'C'=∠ABC=30°
∴∠AB'B=∠ABB'=12×(180°-50°)=65°．
∴∠BB'C'=∠AB'B+∠AB'C'=65°+30°=95°．
故答案为：95°．
根据旋转的性质得到∠BAB'=50°，AB=AB'，∠AB'C'=∠ABC=30°根据等腰三角形的性质得到∠AB'B=∠ABB'=12×(180°-50°)=65°.于是得到结论．
此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】4 2
【解析】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=12BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C'，连接AC'，
∵BC'是⊙O的直径，''
∴∠BAC'=90°．
∵∠ACB=45°，AB=8，
∴∠AC'B=45°，
∴BC'=ABsin45∘=8 22=8 2，
∴MN最大=4 2．
故答案为：4 2．
根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
16.【答案】3 5-3
【解析】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC=90°，连接AC，BC，BQ．
∵⊙O的直径为AB，C为AB的中点，
∴∠APC=45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC=45°，∠ADC=135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的AC，
又∵AB=6，C为AB的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=3 2，
∴△ACQ中，AQ=3，
∴BQ= 32+62=3 5，
∵BD≥BQ-DQ，
∴BD的最小值为3 5-3．
故答案为3 5-3．
以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC=90°，依据∠ADC=135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的AC，依据△ACQ中，AQ=3，即可解决问题．
本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．
17.【答案】(2,1)
【解析】解：(1)如图所示，连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，
故答案为：(2,1)；
(2)连接OA，设BC的中点为D，
∵AD=1，OD=2，
∴OA= AD2+OD2= 12+22= 5，
(1)连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心；
(2)根据勾股定理即可求得半径．
本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置．
18.【答案】【小题1】
证明：∵DE=BF，
∴DE⌢=BF⌢．
∵AB，CD为⊙O直径，
∴DEC⌢=BFA⌢，
∴DEC⌢-DE⌢=BFA⌢-BF⌢，
即EC⌢=AF⌢．
∵∠B，∠D所对的弧分别是AF⌢，EC⌢，
∴∠B=∠D．
【小题2】
解：∵∠D=40∘，
∴EC⌢=80∘，AE⌢=EF⌢=FC⌢=40∘．
∴∠AOC=120∘．
∵∠B=∠D=40∘，
∴∠OHB=∠AOC-∠B=120∘-40∘=80∘．

【解析】1.
本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键．
证明EC⌢=AF⌢即可得出结论；
2.
求出EC⌢=80∘，AE⌢=EF⌢=FC⌢=40∘得∠AOC=120∘，根据∠OHB=∠AOC-∠B可得结论．
19.【答案】【小题1】
解：如图，▵AB'C'即为所求；

【小题2】
解：如图，点O即为所求．

【解析】1.
本题考查画旋转图形、圆的定义、勾股定理，正确确定圆心是解答的关键．
根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形；
2.
找格点O，连接OB，OC，OC'，根据网格特点和勾股定理求得OB=OC=OD= 22+62=2 10，根据圆的定义可得B，C，C'三点共圆，则点O即为所求圆心．
20.【答案】【小题1】
144∘
【小题2】
D的人数为：50-6-14-20-4=6(人)，
补全条形统计图如下：

【小题3】
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，
∴恰好抽到2名男生的概率=212=16．

【解析】1.
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，
由B的人数除以所占百分比得出本次抽取调查的学生人数，进而即可解决问题；
【详解】∵本次抽取调查的学生共有14÷28%=50(人)，
∴扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为360∘×2050=144∘，
故答案为：144∘；
2.
求出D的人数，补全条形统计图即可；
3.
画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，再由概率公式求解即可；
熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解决此题的关键．
21.【答案】【小题1】
由题意可得，3x+2y=90，
整理得y=-32x+45；
【小题2】
根据题意得S=x-32x+45=-32(x-15)2+337.5，
∵a=-32，开口向下，
∵16≤x≤20，
∴当x=16时，S取得最大值，S=336．

【解析】1.
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意求最值时要在自变量的取值范围内．
根据题意可以周长列出x、y的关系式即可；
2.
长乘宽表示出面积，再用二次函数的性质即可求范围．
22.【答案】【小题1】
解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)；
【小题2】
解：设每平方米小番茄产量为W千克，
w=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．
∴当x=5时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．

【解析】1.
由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
2.
设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
23.【答案】【小题1】
证明：∵D为BC⌢的中点，
∴CD⌢=BD⌢，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD/​/AC；
【小题2】
①证明：∵G为AC中点，EF为直径
∴EF⊥AC，
∵OD//AC，
∴DO⊥EF，则∠DOE=90∘，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴BD⌢=BE⌢，
∴∠BOD=12∠DOE=45∘，
②解：∵OD//AC，
∴∠CAB=∠BOD=45∘，
∵OG⊥AC，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴AG=OA⋅cs45∘=2× 22= 2,
∴AC=2AG=2 2．

【解析】1.
本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；内错角相等，两直线平行；垂直于弦的直径平分弦．
根据D为BC⌢的中点，推出∠CAD=∠BAD，再根据OA=OD，推出∠BAD=∠ODA，进而得出∠CAD=∠ODA，即可求证；
2.
①根据垂径定理得出EF⊥AC，则DO⊥EF，再根据AB是⊙O的直径，DE⊥AB，得出BD⌢=BE⌢，即可得出∠BOD=12∠DOE=45∘，②根据OD/​/AC，得出∠CAB=∠BOD=45∘，则▵AOG是等腰直角三角形，即可求解．
24.【答案】(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAG+∠BAG=90°，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠CAG=∠ABE；
(2)证明：∵∠CGD=∠CAG+∠ACG，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
由(1)知，∠CAG=∠ABE，
∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CGD=∠ABC，
∵∠ABC=∠D，
∴∠DGC=∠D，
∴CG=CD；
(3)解：连接AE、CE，

∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠AGE=∠BEC，
∴AD//CE，
∵∠CAE=∠EBC，
∠ACG=∠EBC，
∴∠CAE=∠ACG，
∴AE/​/CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AF=12AC，
∵AC2=BC2-AB2，
∴AC2=(2 13)2-42，
∴AC=6，
∴AF=12×6=3，
∵BF2=AF2+AB2，
∴BF2=32+42，
∴BF=5，
∵∠ABG=∠ABF，∠AGB=∠BAF，
∴△BAG∽△BFA，
∴BA：BF=BG：BA，
∴4：5=BG：4，
∴BG=165，
∵FG=BF-BG，
∴FG=5-165=95．
【解析】(1)由互为余角的概念，即可证明；
(2)由圆周角定理，即可证明；
(3)由平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，即可求解．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，圆周角定理，互为余角的概念，关键是掌握并熟练应用以上知识点．x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
…
学生类别
学生平均每天睡眠时间x(单位：小时)
A
7≤x