第二学期高一中职数学期末考试模拟考试答案解析

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【详解】解：根据球的定义知A正确；
因为球的直径必过球心，所以B错误；
因为球的任何截面都是圆面，所以C错误；
球常用表示球心的字母表示，故D错误.
故选：A.
2．D
【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】斜率k=tanα=tan150∘=−33
故选：D
3．B
【分析】由根式、对数的性质可得{7−x≥0x−4>0，即可得定义域.
【详解】由题设，{7−x≥0x−4>0，解得：4故选：B.
4．C
【分析】根据对数恒等式及对数运算法则，即可求解.
【详解】3−lg32=3lg312=12
故选：12
【点睛】本题考查对数运算法则，属于基础题.
5．C
【分析】利用函数的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】由函数f(x)=lg3x的图像向右平移1个单位长度得到函数y=lg3(x−1)的图像，
再将函数y=lg3(x−1)图像上的点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y=lg3(2x−1)的图像，
然后将函数y=lg3(2x−1)图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数g(x)=3lg3(2x−1)的图像.
故选：C
6．B
【分析】根据奇偶函数的概念逐个判断即可.
【详解】选项A：函数y=x的定义域为0,+∞，不关于原点对称，
所以函数y=x为非奇非偶函数；
选项B：函数y=x23=3x2的定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=3−x2=3x2=f(x)，所以函数y=x23为偶函数；
选项C：函数y=1x的定义域为x|x≠0，关于原点对称，
又f(−x)=1−x=−f(x)，所以函数y=1x为奇函数；
选项D：函数y=x3的定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=−x3=−x3=−f(x)，所以函数y=x3为奇函数.
故选：B.
7．D
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果
【详解】因为a=213>20=1,b=lg2130=lg31所以a>c>b，
故选：D
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间−∞,0,0,1,1,+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
8．C
【解析】根据指数函数单调性比较大小，即可得结果.
【详解】因为y=0.8x为单调减函数，所以0.80>0.80.8>0.80.9∴1>a>b,
因为y=1.2x为单调减函数，所以c=1.20.8>1.20=1，即b故选：C
9．D
【分析】由直线AB与已知直线垂直，及AB的中点在已知直线上列方程组可得a,b．
【详解】因为点.A，B关于直线4x+3y−11=0对称，所以A，B两点所在直线的斜率kAB=34，即b+2−(−b)a+2−(b−a)=34，即6a−11b−2=0.
易知线段AB的中点b+22,1在直线4x+3y−11=0上，所以4×b+22+3×1−11=0，所以b=2，所以a=4.
故选：D．
【点睛】本题考查点关于直线对称问题，两点A,B关于直线l对称，由AB⊥l，AB的中点在直线l上．
10．B
【分析】利用直线方程的两点式列方程，整理即可．
【详解】设P(x,y)是直线上的任意一点，由直线方程的两点式得：y−13−1=x−12−1，整理得：2x−y−1=0，故选B．
【点睛】本题考查了直线方程的两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，利用两点式列方程，整理．
11．D
【分析】先以fx为整体分析可得：fx=34和fx=t共有7个不同的根，再结合fx的图象分析求解.
【详解】令gx=4fx2−4t+3fx+3t=0，解得fx=34或fx=t，
作出函数y=fx的图象，如图所示，
y=fx与y=34有4个交点，即方程fx=34有4个不相等的实根，
由题意可得：方程fx=t有3个不相等的实根，即y=fx与y=t有3个交点，
故实数t的取值范围是0,12∪1.
故选：D.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
12．B
【分析】先将三个数与零进行大小比较，确定三个数的正负，再将两个正数与1进行大小比较，从而可得出三个数x、y、z的大小关系．
【详解】∵函数y=lg13x在其定义域上是增函数，则x=lg13e函数y=2x在其定义域上是增函数，且sin1>0，∴y=2sin1>20=1，
函数y=lgx在其定义域是增函数，则lg1故选B．
【点睛】本题考查比较数的大小，考查指数函数与对数函数的单调性，这类问题一般采用中间值0、
1建立大小关系并结合不等式的传递性来得出数的大小关系，是常考题型，属于中等题．
13．A
【分析】求出A点关于x轴的对称点为A'，则反射光线经过A'，当反射光线所在直线与x轴垂直时，不与圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为k，反射光线所在直线的方程为y+3=kx+2，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案.
【详解】A−2,3点关于x轴的对称点为A'−2,−3，所以反射光线经过A'，
当反射光线所在直线与x轴垂直时，即x=−2，
圆C3,2到直线x=−2的距离为5，
因为5>1，所以直线x=−2与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为k，
则反射光线所在直线的方程为y+3=kx+2，即kx−y+2k−3=0，
因为反射光线与圆相切，所以3k−2+2k−31+k2=1，解得k=43或k=34，
所以反射光线所在直线的方程为y+3=43x+2，或y+3=34x+2，
整理得3x−4y−6=0或4x−3y−1=0.
故选：A.
14．C
【解析】由条件得到fx+f−x=2，即fx关于点0,1成中心对称，分析出函数fx的单调性，由条件得到a−a2⋅4x>−1−2x在x∈(−∞,1]在上恒成立，分离参数得到a−a2>−1−2x4x=−14x−12x，即可得出答案.
【详解】由函数f(x)=x2−x+1,x≤0−x2−x+1,x>0，则f(−x)=−x2+x+1,x≤0x2+x+1,x>0
所以fx+f−x=2，即fx关于点0,1成中心对称
当x≤0时，fx=x2−x+1在−∞，0上单调递减，
由fx关于点0,1成中心对称，所以fx在0，+∞上单调递减且函数图像连续不断.
所以fx在R上单调递减，
所以f1+2x+f−1−2x=2
对任意x∈(−∞,1]均成立f1+2x+fa−a2⋅4x<2，
即f1+2x+fa−a2⋅4x所以fa−a2⋅4x−1−2x在x∈(−∞,1]在上恒成立.
所以a−a2>−1−2x4x=−14x−12x在x∈(−∞,1]在上恒成立.
设t=2x∈0,2，则1t≥12
所以−14x−12x=−1t2−1t=−1t+122+14∈−∞，−34
所以a−a2>−34，得−12故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查函数的对称性、利用单调性解不等式和不等式恒成立求参数的问题，解答本题的关键是先分析得出函数的单调性和对称性，从而根据条件得出a−a2⋅4x>−1−2x在x∈(−∞,1]在上恒成立，再分离参数得到a−a2>−1−2x4x=−14x−12x在x∈(−∞,1]在上恒成立，属于中档题.
15．B
【分析】ΔABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．
【详解】ΔABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，如下图所示：
∵BC=4，∠ABC=120∘，则∠OBC=60∘，∴CO=BCsin60∘=23，
所以，几何体的体积为V=13π⋅CO2⋅AO−BO=13π⋅CO2⋅AB=13×π×232×2=8π.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是旋转体的体积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．
16．B
【分析】先判断出圆心(2,2)到直线y=−x的距离d=2+212+12=22<32，得到圆与直线y=−x相交，利用几何关系判断出满足条件的点只有2个.
【详解】圆C的方程x2+y2−4x−4y−10=0化为标准方程为x−22+y−22=18，圆心为(2,2),半径r=32.
又圆心(2,2)到直线y=−x的距离d=2+212+12=22<32，
所以圆与直线y=−x相交.
而到直线l的距离为22的点应在直线两侧,且与已知直线平行的直线上.
又32−22=2<22，
所以两平行线与圆相交的只有一条，
所以满足条件的点只有2个.
故选：B
17．A
【分析】由圆的方程求出圆心坐标C1,0，由直线的方程可得直线恒过定点A0,1，若弦长最短，则弦心距最大，只需CA与直线y=kx+1垂直，利用斜率乘积为−1即可求解.
【详解】由x2+y2−2x−3=0，可得x−12+y2=4，圆心C1,0，半径r=2，
易知直线y=kx+1恒过定点A0,1，
要使截得的弦最短，则圆心到直线y=kx+1的距离最大，
只需圆心C1,0和A0,1点的连线与直线y=kx+1垂直，
所以k⋅1−00−1=−1，解得：k=1，
故选：A.
18．D
【详解】如图：函数f(x)与函数g(x)=lg12|x|有2个交点，所以选D.
19．D
【分析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f8+x=f−4−x，便可推出f(x+8)=f(x)，即f（x）的周期为8，由周期性及函数为奇函数即可得解.
【详解】∵fx是定义在R上的奇函数，且f8+x=f−4−x，
∴f(x+4)=−f(x)，
∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
∴fx的周期为8，
∵x∈0,2时，fx=−3x+1；
f(2022)=f(8×253−2)=f(−2)=−f(2)=−(−32+1)=8.
故选：D
20．A
【分析】由|x|−ax3+3x2=0，得a=|x|x3+3x2,设g(x)=|x|x3+3x2,对函数gx求导分析其单调性和图象趋势，作出大致图象，根据数形结合可得实数a的取值范围.
【详解】方法一：易知x=0是方程|x|−ax3+3x2=0的一个根，显然x≠−3，当x≠0且x≠−3时，由|x|−ax3+3x2=0，
得a=|x|x3+3x2,设g(x)=|x|x3+3x2,则gx的图象与直线y=a有3个不同的交点.
当x>0时，g(x)=1x2+3x，因为y=x2+3x在(0,+∞)上单调递增，所以gx在(0,+∞)上单调递减，且g(x)∈(0,+∞)．
当x<0且x≠−3时，g(x)=−1x2+3x,g'(x)=2x+3x2+3x2，
令g'(x)>0,得−32所以函数gx在−∞,−3和−3,−32上单调递减，在−32,0上单调递增，且g(−32)=−1−322+3×−32=49，
且当x从左边趋近于0和从右边趋近于-3时，g(x)→+∞，当x从左边趋近于-3时，g(x)→−∞，当x→−∞时，g(x)→0，
作出函数gx的大致图象如下图所示，由图可知，a>49，
综上，实数a的取值范围是49,+∞，
故选A．
方法二：易知x=0是方程|x|−ax3+3x2=0的一个根，当x≠0时，由|x|−ax3+3x2=0，得1|x|=a(x+3)，
则该方程有3个不同的根，在同一坐标系内作出函数y=1|x|和y=a(x+3)的图象，如下图所示：
当a>0时，当y=a(x+3)与曲线 y=1|x|的左支相切时，由−1x=a(x+3)得ax2+3ax+1=0,Δ=(3a)2−4a=0得a=49，由图可知，当a>49时，直线y=a(x+3)与曲线y=1|x|有3个不同的交点，即方程1|x|=a(x+3)有3个不同的根，
综上，实数a的取值范围是49,+∞，
故选A.
【点睛】本题考查方程的根与函数的图象和性质,数形结合思想等综合应用,关键在于将求方程的根转化到求两个函数的图象的交点问题，属于难度题.
21．x+3=0或x−3y+3=0
【分析】先求得M点的坐标和直线l的倾斜角.根据顺时针旋转或者逆时针旋转分为两种情况，利用点斜式写出所求直线方程，并化简为一般式.
【详解】令y=0，求得M−3,0，直线l的斜率为3，故倾斜角为60∘.
当逆时针旋转30∘时，所得直线的倾斜角为90∘，此时直线方程为x=−3，即x+3=0.
当顺时针旋转30∘时，所得直线的倾斜角为30∘，斜率为33，又点斜式得y=33x+3，化简得x−3y+3=0.
故填：x+3=0或x−3y+3=0.
【点睛】本小题主要考查直线和x轴交点坐标的求法，考查斜率和倾斜角的对应关系，考查直线的点斜式方程，属于基础题.
22．2，4
【解析】根据指数函数性质可知当2x−4=0时，即可求出A。
【详解】令2x−4=0，
即x=2时，f2=a2x−4+3=4，
所以A(2,4)，
故答案为：2，4
【点睛】本题主要考查了指数型函数恒过定点问题，属于容易题.
23．42
【解析】由圆锥侧面展开图求出圆锥底面半径，然后可得高．
【详解】设圆锥底面半径为r，则2πr=2π3×6，r=2，又圆锥母线长为l=6，∴高为ℎ=l2−r2=62−22=42．
故答案为：42．
24．512
【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是x,y为坐标的点落在x+y≤6区域内，列举法写出满足的结果，从而得到概率.
【详解】∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是x,y为坐标的点落在x+y≤6区域内，
当x=1,y=1；x=1,y=2；x=1,y=3；x=1,y=4；
x=1,y=5；x=2,y=1；x=2,y=2；x=2,y=3；
x=2,y=4；x=3,y=1；x=3,y=2；x=3,y=3；
x=4,y=1；x=4,y=2；x=5,y=1，共有15种结果，
∴P=1536=512.
故答案为：512.
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
25．−1
【分析】由偶函数的定义结合对数的运算得出k.
【详解】由偶函数的定义得到kx+lg31+9x=−kx+lg31+9−x，即2kx=lg31+9−x1+9x=lg31+9x9x⋅11+9x=lg33−2x=−2x 即2k+2x=0恒成立，k=−1.
故答案为：−1
26．(1)a=2,b=−2
(2)a=2,b=2
(3)a=32,b=3
【分析】（1）根据直线垂直可知斜率相乘等于−1 ，进而可求.（2）根据平行直线斜率相等可求. （3）两直线重合，斜率和在y轴上的截距均相等，进而可求.
（1）
由于直线l1和l2垂直，故a⋅a−1+b⋅1=0，
又直线l1过点−3,0，故−3a+6=0，
联立两式，解得a=2,b=−2.
故有a=2,b=−2.
（2）
由于直线l1和l2平行，故a⋅1=a−1⋅bb⋅2≠6×1，
直线l1在y轴上的截距为−3，则b≠0−6b=−3，
联立解得a=2,b=2.
故有a=2,b=2.
（3）
若直线l1和l2重合，故a⋅1=a−1⋅bb⋅2=6×1，解得a=32,b=3.
故有a=32,b=3.
27．15
【分析】利用完全平方公式求得x+x−1=7,代入进行计算即可．
【详解】由题意，x12+x−122=x+x−1+2=9，
所以x+x−1=7
原式=x+x−1+2x+x−12−4=7+272−4=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）0.825.
【分析】（1）根据所给表格,求得各组的频率,绘制成频率分布表.
（2）由频率分布表,可画出频率分布直方图.
（3）求得数据落在150,170范围内的频率,即可由此频率估算其概率.
【详解】（1）依照题意,绘制频率分布表如下：
（2）
（3）数据落在150,170范围内的频率为0.125+0.225+0.325+0.15=0.825
所以数据落在150,170范围内的概率约为0.825.
【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的作法,用频率估计概率的应用,属于基础题.
29．(1)图象见解析，单调递增区间为−∞,−1和0,1，单调递减区间为−1,0和1,+∞
(2)−12,0
【分析】（1）画出函数的图象，然后写出函数的单调区间即可．
（2）利用函数的值域，结合函数的图象，写出结果即可．
【详解】（1）函数fx的图象如图所示，
由图象可得函数fx的单调递增区间为−∞,−1和0,1，单调递减区间为−1,0和1,+∞；
（2）由函数fx的图象可知，当且仅当−12∴实数m的取值范围为−12,0.
30．(1)(x−1)2+(y+2)2=9或(x+14)2+(y−74)2=12916；
(2)PA⋅PB∈[−52 ， 10)
【分析】（1）设圆心为a，b，半径为r，根据已知条件列方程，解方程组求出圆心坐标和半径，写出标准方程；
（2）先得到向量PA,PB的坐标，结合(x−1)2=y2+52可得到PA⋅PB=2y2−52，根据P在圆C内，可得到−52【详解】（1）设圆心为a，b，半径为r，
则有b2+5=r2a2+8=r23a+b−1=0 ，解得a=1b=−2r=3或a=−14b=74r=1294，
所以圆C的方程为x−12+y+22=9或x+142+y−742=12916；
（2）∵圆心C在第四象限，∴圆C的方程为x−12+y+22=9，
令y=0，解得x=±5+1 ，
∴A−5+1，0，B5+1，0，
∴PA→⋅PB→=1−5−x，−y⋅1+5−x，−y=x−12+y2−5，
∵x，y满足x−12=y2+52，
∴PA⋅PB=2y2−52，
又∵P在圆C内，满足x−12+y+22<9且x−12=y2+52，
∴4y2+8y−5<0，解得−52∴PA⋅PB∈−52， 10.
分值
频数
频率
140,145
1
0.025
145,150
2
0.050
150,155
5
0.125
155,160
9
0.225
160,165
13
0.325
165,170
6
0.15
170,175
3
0.015
175,180
1
0.025
合计
40
1.00