精品解析：湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

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班级：__________姓名：__________准考证号：__________
（本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 若空间中点，，，满足，则A，，三点共线
B. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
D. ，，若，则与夹角为锐角
4. 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线y2=2pxp>0的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 的图象关于直线对称
10. 如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（ ）
A 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 存在点使直线与平面所成角
11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 点到轴距离的最大值为B. 点到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为D. 最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______.
13. 在中，，点在上，满足，，.则的面积为__________
14. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，其中、.
（1）若直线经过点，且，求值；
（2）若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程.
16. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
（1）求王阳第三次答题通过面试的概率；
（2）求王阳最终通过面试概率.
17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.

（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知圆与圆，，.
（1）当时，直线与圆交于，两点，若，求MN；
（2）若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值.
19. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.