湖南省天一联考2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：B.
2. 若，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的图像和性质即可直接求解.
【详解】由题知，和草图如下，
则若，则.
故选：A
3. 函数的图象在图中的序号依次为（ ）
A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的图象即可得解.
【详解】，两函数的定义域为，
因为，所以①为，②为，
两函数的定义域为，
因为，所以③为，④为.
故选：D.
4. 若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（ ）
A. 0B. 或3C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义解得或，代入结合函数图象检验即可.
【详解】因为为幂函数，则，解得或，
若，则的图象与一次函数的图象有三个交点，符合题意；
若，则的图象与一次函数的图象有两个交点，不符合题意；
综上所述：.
故选：D.
5 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，2分析判断即可.
【详解】因为，即；
且，，
所以.
故选：C.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，再结合特殊值的函数数值的符号，利用排除法求解即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故判断BD；
当时，，故排除C.
故选：A.
7. 设且，若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定函数在每一段上单调递减需要满足的条件，以及函数在处函数值的关系，得到关于的不等式组，求解可得的取值范围.
【详解】因函数在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
可得，即，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断AD；举出反例即可判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，
又因为，所以，所以，故D正确.
故选：AD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 若且，则
C. 函数在区间上单调递增
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义即可判断A；根据对数函数的性质结合对数的运算性质即可判断BD；根据对数型复合函数的单调性即可判断C.
【详解】对于A，函数的定义域为，
因为，所以函数是偶函数，故A正确；
对于B，因为且，
所以，所以，
即，所以，故B正确；
对于C，令，则，
所以函数的定义域为，
令，在单调递增，在上单调递减，
又是增函数，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，，
则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 对于任意实数a，b，定义运算“⊗”：设函数，且关于x的方程恰有三个实数根，则（ ）
A. 实数t可能的取值为B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意求函数的解析式，进而作出图象，结合图象判断ABC；对于D：根据，代入整理即可判断.
【详解】当，即时，则；
当，即时，则；
综上所述：，
作出函数的图象，如图所示：
若关于x的方程恰有三个实数根，
可知，且，
即实数t的值不可能为，故A错误，B正确；
又因为，故C正确；
由题意可知：，即，
可得，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，先求出，进而可得出答案.
【详解】由题意，，
所以.
故答案为：.
13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，解之即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14. 已知集合，若存在M的子集A，使得对任意，都有，则集合A中最多有_______个元素．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得或，考虑到的等价性，我们只需要求出时集合A中元素最多的个数即可，再根据的变化情况即可得解.
【详解】由，得或，且取值为正整数，
所以或，所以或，
根据集合中元素的无序性，我们只需考虑即可，
当时，则集合中的元素必须呈指数增长，
由于是的子集，且中最大的元素为，
A中元素最多时，考虑的增长，当时，，不超过，
当时，，超过了，
所以集合中最多只能包含个元素，即，才能满足条件.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由题意得出或，进而可得集合中的元素必须呈指数增长，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算分析求解即可；
（2）根据对数的运算性质分析求解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
16. 2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是．
（1）若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量．
（2）物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？
附：结果四舍五入精确到整数，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将代入计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，
则，所以，所以，
所以该火箭中燃料的质量；
【小问2详解】
由题意，
则，所以，
所以燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少.
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）证明：在内有且仅有一个零点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于零及f恩木不等于零求解即可；
（2）先判断函数在上的单调性，再根据零点的存在性定理即可得证.
【小问1详解】
由，
得，解得或且，
所以的定义域；
【小问2详解】
令，其在上是增函数，
又函数是增函数，
所以函数在上是增函数，
因为在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以函数在内有且仅有一个零点.
18. 已知是奇函数．
（1）求实数；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若当时恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，由此即可得解；
（2）先判断出函数的单调性，再由，，结合函数的单调性即可得解；
（3）分离分离参数可得，令，则再分离常数即可得解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为是奇函数，
所以，即，解得，
经检验符合题意，所以；
【小问2详解】
由（1）得，
因为函数是减函数，是减函数，
所以函数是减函数，
由，，
得，即为，
所以；
小问3详解】
，即，
即，对任意的恒成立，
分离参数可得，
令，则，
则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以，所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称具有性质．
（1）若具有性质，求的值；
（2）证明：存在常数，使得函数具有性质；
（3）若具有性质，且其图象是一条连续不断的曲线，证明：对任意实数m，关于x的方程都有解．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义得，即可求解；
（2）设，利用零点存在性定理即可证明；
（3）设，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可证明．
【小问1详解】
因为具有性质，
所以，
所以；
【小问2详解】
设，则，
令，即，
设，
因为，
所以在区间上函数存在零点，
当时，则，此时函数具有性质，
所以存在常数，使得函数具有性质；
【小问3详解】
设，因为，所以，
设，
因为，
所以具有性质，，
令得，，
①若，则函数在存在零点；
②若，即时，
当时，，
即，
所以在区间存在零点；
③若，即，
因为，
所以，所以，
当时，，
即，
所以在区间存在零点；
综上所述，，都存在零点，
即对任意实数m，关于x的方程都有解．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．