山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题及参考答案

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2024—2025学年高三年级上学期期中检测
数学试题
2024.11
本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.若（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则
A.0B.2C.3D.4
3.已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则
A.B..C.1D.2
4.设，，则使成立的一个充分不必要条件是
A.B.C.D.
5.已知数列满足，，则数列的前8项和为
A.B.C.D.
6.若，，且，，则
A.B.C.D.
7.用表示，，中的最小数，若函数为偶函数，且当时，，则的极值点的个数为
A.2B.3C.4D.5
8.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则
A.2B.3C.4D.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，两条相邻对称轴之间的距离为，且，则
A.B.
C.关于对称D.在上单调递增
10.记内角，，的对边分别为，，，已知，，若为的外心，则
A.B.
C.D.
11.如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则
A.存在点使得
B.的最小值为
C.以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12
D.已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则________.
13.数列的前项和为，且满足，，则________.
14.已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点在棱上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的大小.
16.（15分）
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，角的平分线交于，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
17.（15分）
将个实数排成行列的数阵形式如下；
（1）当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和；
（2）若，且每一行均为等差数列，每一列均为公比为的等比数列.已知，，，设，求的值.
18.（17分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
19.（17分）
已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”.
（1）若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）；
（2）若，写出所有的“理想集”的个数并列举；
（3）若，证明：集合必为“理想集”.
山东名校考试联盟
高三阶段性测试数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.【解析】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4，
因为是上的奇函数，所以，即关于点对称，
于是，，
由，取得，即，
则，因此，取，得，
于是，
因此，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
10.【解析】外心为外接圆圆心，也为三边中垂线的交点.
取的中点，因为，A，C对；
因为，所以B错；
由奔驰定理得，D错.
答案为：AC.
11.【解析】取中点，所以，因为为直角三角形，当在运动中时，，，所以，，故A错；
由对称性得，即求，在面中，
，故B对；
因为以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，而正方体中心到各棱距离均为，所以该球与正方体12条棱均相切，所以有12个交点，故C对；
因为体积最大的小球为小球与正方体和球均相切时取到.研究截面，分别过和小球球心作的垂线，垂足分别为，，则，因为球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，则，所以，所以小球体积最大值为，故D对.所以答案为BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.； 13.1； 14..
14.【解析】因为函数图象在不同的三点处的切线斜率均为3，
所以有三个不同的根，即有三个不同的根，
转化为函数图象和函数图象有三个不同的交点，
下面分析函数图象，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，且；当时，.
函数图象如图所示
结合图象可知，的取值范围是.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】（1）因为，，所以，所以，即.1分
又因为面面，面交面于，因为，，所以，因为面，所以面，因为面，所以.3分
（注：直接因为面面垂线在面内就得到面这两分扣掉）
因为，，交于，所以面.4分
（注：未写交于的这一分扣掉）
连接，交于，连接，因为，，所以，
又因为，所以，所以，6分
因为面，所以面，因为平面，所以面平面.7分
（2）取中点，连接，，因为，所以，又因为面面，面交面于，所以面，8分
因为面，所以.
因为，，，所以四边形为正方形，所以.
又因为交于，所以面，10分
因为面，
所以，所以即为平面与平面所成角，11分
因为，，所以，.
所以平面与平面所成角为.13分
方法2：
（1）取中点，连接，，因为，所以，2分
又因为面面，面交面于，所以面，因为，，所以，又因为，，所以四边形为矩形，则.3分
以为原点建系如图，，，，，所以，，，
因为点在棱上且，所以，则，4分
设，分别为平面和平面的法向量，则
，令，则，，所以，5分
，令，则，，所以，6分
所以，所以，所以平面平面.7分
（2）设为平面的法向量，所以，令，则，，所以，9分
因为面，，10分
所以，11分
所以平面与平面所成角为.13分
方法3：（1）若取为原点，，方向为，轴正方向，则坐标为，，，，，平面和平面的法向量分别为，.
（2）平面的法向量，.
（注：分值对应方法2）
方法4：（2）投影面积法：取中点，连接，，因为，所以，又因为面面，面交面于，所以面，设为平面与平面所成角，所以，所以.
（注：第二问答案正确给3分，答案不正确0分）
16.【解析】（1）在中，，
利用正弦定理得，，
所以2分
即
因为，故，即，4分
因为，所以，所以6分
（2）由已知得，
在中，由正弦定理得，，即
同理得，8分
故，9分
而
12分
因为锐角中，，所以13分
故，，
所以的取值范围为.15分
17.【解析】（1）由题意，且每一行都成等差数列则有：
，2分
，……，，
则有，4分
又因为每一列成等差数列，故有，
即.6分
（2）由题意每一行均为等差数列，设第二行的公差为，
则有，故，7分
从而可得第二行的通项公式，8分
所以，又因为每一列均为公比为的等比数列，且
又因为，故，10分
即有，从而有，12分
故
13分
所以14分
即.15分
18.【解析】（1）由题意可知，1分
，则，2分
故曲线在点处的切线方程为.3分
（2）当时，.则.
当时，，此时
.5分
当时，.
故在上恒成立.7分
再由可知为偶函数，于是在上恒成立.故在上单调递增.8分
（3）当时，符合题意.9分
当时，由可得.11分
令，则.
令，则.
令，则.
令，
当时，，故在上单调递减.
又，则此时.故在上单调递减.
因为，，则存在，使得，于是在上单调递增，在上单调递减.由于，，则当时，，此时.因此在上单调递增.
故当时，.14分
令，，则.
当时，，则在上单调递增，此时.故当时，.16分
故在上恒成立.
因此的取值范围为.17分
19.【解析】（1）不是“理想集”，是“理想集”.2分
（注：答对一个给一分）
（2）共16个“理想集”.4分
若，有.
当时，若，则，由可知，故或；
若，则，由可知，则，故.
故含有三个元素的“理想集”，或，共3个.6分
当时，，，，，，，或，共7个.
当时，，，，，，共5个.
当时，，共1个.
综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：,,,，，，，，，，，，，，，.8分
（注：没有步骤不扣分，缺少或错误均不给分）
（3）若，记且.9分
利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，10分
则，，2，…，.11分
记，于是，12分
则.14分
因此，矛盾.16分
故集合必为“理想集”.17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
A
C
D
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
BCD