第四章　§4.9　解三角形中的最值与范围问题-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一　利用基本不等式求最值(范围)
所以cs Acs B＝sin B＋sin Asin B，所以cs(A＋B)＝sin B，
由(1)得cs(A＋B)＝sin B，
求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
跟踪训练1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.(1)求A；
由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs A.②
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
题型二　转化为三角函数求最值(范围)
(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围.
因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，
因为△ABC为锐角三角形，
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
(1)若BC边上的高等于1，求cs A；
所以sin B＝cs B，则tan B＝1，
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
又因为△ABC为锐角三角形，
题型三　转化为其他函数求最值(范围)
所以sin(A－B)cs C＝sin(A－C)cs B，所以sin Acs Bcs C－cs Asin Bcs C＝sin Acs Ccs B－cs Asin Ccs B，所以cs Asin Bcs C＝cs Asin Ccs B，
所以tan B＝tan C，
由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c，
由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1，
因为A＝π－B－C＝π－2C，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B，
由(1)知，c2＝b2＋ab，
代入化简可得b由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，得a2＋b2－2abcs C＝3absin C，即a2＋b2＝2abcs C＋3absin C，
在△ABC中，cs C＝cs[π－(A＋B)]＝－cs(A＋B)＝－cs Acs B＋sin Asin B，因为8sin Asin B＋cs C＝0，所以8sin Asin B－cs Acs B＋sin Asin B＝0，则9sin Asin B＝cs Acs B，
二、多项选择题5.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，则下列说法正确的是
∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2，即a2＋b2－c2＝ab，对于A选项，由余弦定理的推论，可得
∴ab＝4，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4，∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；对于C选项，c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4，
∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立，∵c＝2，∴a＋b>2，∴4则△ABC的周长的最大值为6，故C正确；对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C，即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0，
则满足条件的△ABC有2个，故D错误.
对于B，cs Acs C＝cs Acs [π－(A＋B)]＝
对于D，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC，
当c＝2a时，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝5a2－2a2＝3a2，∴a2＋b2＝c2，即△ABC为直角三角形，不合题意，
三、填空题7.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sin A的取值范围是________.
由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcs C，即b＝a＋2acs C，由正弦定理得sin A＋2sin Acs C＝sin B，∵B＝π－(A＋C)，∴sin A＋2sin Acs C＝sin B＝sin Acs C＋cs Asin C，即sin A＝sin(C－A).∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0，又△ABC为锐角三角形，
∴A＝C－A，解得C＝2A，
设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.
在△ACD中，由余弦定理得
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，
(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围.
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________，(1)求角B的大小；
若选②，由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C.由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，
因为0(2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围.