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高考数学专题二 微专题18 解三角形中的范围与最值问题课件PPT
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这是一份高考数学专题二 微专题18 解三角形中的范围与最值问题课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了在△ABC中有，跟踪训练1，1求角B，典例2，跟踪训练2，典例3，由1知等内容，欢迎下载使用。
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等.
考点一 转化为三角函数求最值(范围)
典例1 (2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B).(1)求a的值；
方法一 设4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，所以t＝1，所以a＝4.
方法二 设4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acs B＋cs Asin B)(sin Acs B－cs Asin B)＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
所以b＋c≤8，当A＝B＝C时，等号成立，△ABC周长取得最大值12.
由bcs C＋ccs B＝2，
(2)求△ABC面积的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形，
考点二 利用基本不等式求最值(范围)
所以cs Acs B＝sin B＋sin Asin B，所以cs(A＋B)＝sin B，
由(1)得cs(A＋B)＝sin B，
设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.
考点三 转化为其他函数求最值(范围)
方法一 在△ABD中，由余弦定理的推论
方法二 在△ABD中，由余弦定理得
同理，在△BCD中，BD2＝CD2＋CB2－2CD·CBcs C＝8－8cs C，
令cs A＝t，t∈(－1,1)，
跟踪训练3 (2023·黄山模拟)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB＝8 cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在 上，另外两个顶点G，H在 上(M，N分别是 ， 的中点).设EF的中点为P，∠FO1P＝θ，矩形EFGH的面积为S cm2.(1)写出S关于θ的函数关系式S(θ)；
(2)当θ为何值时矩形EFGH的面积最大？
任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外.解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种.一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案.(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法.(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.
可得3a2＝b2＋c2，
又A∈(0，π)，则－1
在△ABC中，sin C≠0，所以sin B＝cs C，又因为△ABC为钝角三角形，所以由诱导公式
即B为钝角，从而sin A－3cs C＝sin(B＋C)－3cs C
由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，故B正确；
由于c
故a＋c≤8，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的周长最大，最大值为12，此时△ABC为等边三角形，故C正确；对于D，由C推导过程得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的面积最大，
6.(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有A.21 B.24 C.27 D.36
在△ABC中，(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，即a2＝b2＋c2＋bc，
角A的内角平分线AD的长为3，由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得，
所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27.
因为Δ＝(－45)2－4×4×108＝297>0，结合根与系数的关系，得到两根之和，两根之积均大于0，故方程有正根，故满足要求.
∵A＋B＋C＝180°，∴3B＋C＝180°，即C＝180°－3B，∵C为锐角，∴30°
在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cs θ，
∵S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC
则tan φ＝2(φ为锐角)，
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
设∠BCD＝θ，θ∈(0，π)，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs θ
∵S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BAD
10.(2023·南宁模拟)请从①cs 2C＋cs C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0；③ccs B＋(b－2a)cs C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.(1)求角C；
选①.cs 2C＋cs C＝0，根据二倍角公式化简得2cs2C＋cs C－1＝0，即(2cs C－1)(cs C＋1)＝0，因为C∈(0，π)，
选②.sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0，根据正弦定理得a2＋b2－c2－ab＝0，
选③.ccs B＋(b－2a)cs C＝0，根据正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝sin (B＋C)－2sin Acs C＝0，因为C∈(0，π)，A∈(0，π)，sin A≠0，
所以DA⊥BA，故BD是△ABC外接圆的直径，所以BC⊥CD.
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等.
考点一 转化为三角函数求最值(范围)
典例1 (2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B).(1)求a的值；
方法一 设4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，所以t＝1，所以a＝4.
方法二 设4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acs B＋cs Asin B)(sin Acs B－cs Asin B)＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
所以b＋c≤8，当A＝B＝C时，等号成立，△ABC周长取得最大值12.
由bcs C＋ccs B＝2，
(2)求△ABC面积的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形，
考点二 利用基本不等式求最值(范围)
所以cs Acs B＝sin B＋sin Asin B，所以cs(A＋B)＝sin B，
由(1)得cs(A＋B)＝sin B，
设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.
考点三 转化为其他函数求最值(范围)
方法一 在△ABD中，由余弦定理的推论
方法二 在△ABD中，由余弦定理得
同理，在△BCD中，BD2＝CD2＋CB2－2CD·CBcs C＝8－8cs C，
令cs A＝t，t∈(－1,1)，
跟踪训练3 (2023·黄山模拟)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB＝8 cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在 上，另外两个顶点G，H在 上(M，N分别是 ， 的中点).设EF的中点为P，∠FO1P＝θ，矩形EFGH的面积为S cm2.(1)写出S关于θ的函数关系式S(θ)；
(2)当θ为何值时矩形EFGH的面积最大？
任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外.解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种.一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案.(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法.(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.
可得3a2＝b2＋c2，
又A∈(0，π)，则－1
在△ABC中，sin C≠0，所以sin B＝cs C，又因为△ABC为钝角三角形，所以由诱导公式
即B为钝角，从而sin A－3cs C＝sin(B＋C)－3cs C
由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，故B正确；
由于c
故a＋c≤8，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的周长最大，最大值为12，此时△ABC为等边三角形，故C正确；对于D，由C推导过程得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的面积最大，
6.(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有A.21 B.24 C.27 D.36
在△ABC中，(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，即a2＝b2＋c2＋bc，
角A的内角平分线AD的长为3，由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得，
所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27.
因为Δ＝(－45)2－4×4×108＝297>0，结合根与系数的关系，得到两根之和，两根之积均大于0，故方程有正根，故满足要求.
∵A＋B＋C＝180°，∴3B＋C＝180°，即C＝180°－3B，∵C为锐角，∴30°
在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cs θ，
∵S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC
则tan φ＝2(φ为锐角)，
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
设∠BCD＝θ，θ∈(0，π)，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs θ
∵S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BAD
10.(2023·南宁模拟)请从①cs 2C＋cs C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0；③ccs B＋(b－2a)cs C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.(1)求角C；
选①.cs 2C＋cs C＝0，根据二倍角公式化简得2cs2C＋cs C－1＝0，即(2cs C－1)(cs C＋1)＝0，因为C∈(0，π)，
选②.sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0，根据正弦定理得a2＋b2－c2－ab＝0，
选③.ccs B＋(b－2a)cs C＝0，根据正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝sin (B＋C)－2sin Acs C＝0，因为C∈(0，π)，A∈(0，π)，sin A≠0，
所以DA⊥BA，故BD是△ABC外接圆的直径，所以BC⊥CD.
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