2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（上）期末数学试卷，共35页。
2．（3分）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
3．（3分）在一次校园歌曲演唱比赛中，小红对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
4．（3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
5．（3分）已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
6．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG＝110°，则∠HGB＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
9．（3分）下列命题：①同位角相等；②的平方根是±4；③若点M（﹣10，m）、N（8，n）都在一次函数y＝﹣k2x+1的图象上，则m＞n；④在平面直角坐标系中平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相等；其中真命题的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
10．（3分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 ．
12．（3分）在正比例函数y＝﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第 象限．
13．（3分）某少年军校准备从甲、乙、丙三位同学中选拔一个参加全市射击比赛．他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是＝8.3，＝8；方差分别是：s2甲＝1.5，s2乙＝2.8，s2丙＝1.5，那么根据以上提供的信息，你认为应该被推荐参加全市射击比赛的同学是 ．
14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
15．（3分）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是6米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 米．
16．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共52分。请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡对应的位置。
17．（6分）计算下列各式：
（1）； （2）．
18．（8分）解方程组：
（1）； （2）．
19．（7分）以2022年北京奥运会为契机，某校开展以“弘扬奥林匹克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪实践课程．为了解学生掌握滑雪技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）填空：填“七年级”或“八年级”
①从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是 ；
②从样本数据来看，成绩相对更加稳定的是 ．
（3）若规定4分及4分以上为优秀，该校八年级共200名学生参加了此次实践活动，估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生人数是多少？
20．（7分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 米，用含有x的式子表示AC为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
21．（6分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
22．（9分）某商场第一次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第一次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进A，B两种商品，共100件，A商品按原售价九折销售，B商品按原售价销售，且两种商品全部销售完毕，设A商品购进a件，第二次经营活动获得利润W元．
①求W与a的函数关系式；
②若购进A商品的数量不低于20件，则商场应该如何购进两种商品，可以获得最大利润，并求出最大利润．
23．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）在下列各式中，结果是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的混合运算；无理数；分母有理化．
【答案】A
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后观察，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：＝2，故选项A符合题意；
＝0，故选项B不符合题意；
＝2，故选项C不符合题意；
＝1，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c），
∴b2＝a2﹣c2，
∴c2+b2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．（3分）在一次校园歌曲演唱比赛中，小红对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【答案】A
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．
4．（3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【考点】实数与数轴．
【答案】B
【分析】利用算术平方根的定义推理即可．
【解答】解：∵，
∴2＜＜3，
故选：B．
【点评】本题考查的是算术平方根的大小比较，解题的关键是掌握被开方数越大，算术平方根也越大．
5．（3分）已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】A
【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．
【解答】解：将方程两式相加得，
4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题的关键．
6．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】A
【分析】利用直角三角板值的特殊角，平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：如图，
由题意得：∠B＝45°，∠F＝30°，∠DAC＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠EDA＝∠B＝45°，
∵∠EDF+∠F+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝105°，
∴∠1＝∠DAF﹣∠DAC＝105°﹣90°＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
7．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】A
【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG＝110°，则∠HGB＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【考点】作图—基本作图；平行线的判定．
【答案】C
【分析】由作图知BG是∠ABC的平分线，得到∠ABG＝∠CBG，根据平行线的性质得到∠HGB＝∠CBG，等量代换得到∠HBG＝∠HGB，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：由作图知BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵HG∥BC，
∴∠HGB＝∠CBG，
∴∠HBG＝∠HGB，
∵∠BHG＝110°，
∴∠HGB＝∠HBG＝（180°﹣110°）＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
9．（3分）下列命题：①同位角相等；②的平方根是±4；③若点M（﹣10，m）、N（8，n）都在一次函数y＝﹣k2x+1的图象上，则m＞n；④在平面直角坐标系中平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相等；其中真命题的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】命题与定理；一次函数与一元一次不等式；同位角、内错角、同旁内角．
【答案】B
【分析】①根据平行线的性质进行判定即可得出答案；
②根据算术平方根和平方根的定义进行计算即可得出答案；
③根据一次函数的增减性即可得出答案；
④根据平面直角坐标系中点的坐标特征进行判定即可得出答案．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等，所以①中命题是假命题，故①中命题不符合题意；
②＝4，4的平方根为±＝±2，所以②中命题是假命题，故②中命题不符合题意；
③若点M（﹣10，m）、N（8，n）都在一次函数y＝﹣k2x+1的图象上，﹣10＜8，则m＞n，所以③中命题是真命题，故③中命题符合题意；
④在平面直角坐标系中平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相等，所以④中命题是真命题，故④中命题符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握命题的判定方法进行求解是解决本题的关键．
10．（3分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
【考点】一次函数的应用．
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故①错误；
轿车行驶了（2.5﹣1.2）＝1.3小时时进行了提速，故②正确；
货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：80÷（2.5﹣1.2）＝千米/时，故④错误；
设货车对应的函数解析式为y＝kx，
5k＝300，得k＝60，
即货车对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令60x＝110x﹣195，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故③正确，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是 2 ．
【考点】点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
12．（3分）在正比例函数y＝﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第 二 象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据正比例函数y＝﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大判断出﹣3m的符号，求出m的取值范围即可判断出P点所在象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，
∴﹣3m＞0，解得m＜0，
∴点P（m，5）在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，根据题意判断出m的符号是解答此题的关键．
13．（3分）某少年军校准备从甲、乙、丙三位同学中选拔一个参加全市射击比赛．他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是＝8.3，＝8；方差分别是：s2甲＝1.5，s2乙＝2.8，s2丙＝1.5，那么根据以上提供的信息，你认为应该被推荐参加全市射击比赛的同学是 甲 ．
【考点】方差；算术平均数．
【答案】甲．
【分析】从平均环数、方差两个方面比较得结论．
【解答】解：从比赛的平均成绩看，由于＞，应选甲或乙；
从比赛的方差看，由于s2甲＝s2丙＜s2乙，应选甲或丙．
综合来看，选甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解决本题的关键．
14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】．
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15．（3分）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是6米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 8 米．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【答案】8．
【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝6米，AP＝AB＝10米，
∴PG＝8米，
∴BG＝16米，
∴PB＝＝8（米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题关键．
16．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 （﹣，0） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质．
【答案】（﹣，0）．
【分析】先求出AB两点的坐标，故可得出AB的长，再由轴对称的性质得出BD＝AB，故可得出D点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴AB＝＝5，
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴BD＝AB＝5，
∴D（0，2）．
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴点D在线段AD的垂直平分线上，
∴AC＝CD，
设AC＝CD＝x，则OC＝4﹣x，OD＝2，
∴OD2+OC2＝CD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，
∴OC＝4﹣＝，
∴D（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，根据题意得出A、B两点的坐标是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共52分。请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡对应的位置。
17．（6分）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【答案】（1）5；
（2）4﹣6．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先利用平方差公式计算，然后把化简即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝5；
（2）原式＝13﹣9﹣6
＝4﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解．
【解答】解：（1），
②﹣①×3得：2x＝10，
解得：x＝5，
代入①中，解得：y＝3．
原方程组的解为；
（2），整理得：，
①+②×5得：14y＝28，
解得：y＝2，
代入①中，解得：x＝2．
原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法，利用消元思想转化为一元一次方程．
19．（7分）以2022年北京奥运会为契机，某校开展以“弘扬奥林匹克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪实践课程．为了解学生掌握滑雪技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）a＝ 3 ；b＝ 3.5 ；c＝ 4 ．
（2）填空：填“七年级”或“八年级”
①从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是 七年级 ；
②从样本数据来看，成绩相对更加稳定的是 八年级 ．
（3）若规定4分及4分以上为优秀，该校八年级共200名学生参加了此次实践活动，估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生人数是多少？
【考点】方差；抽样调查的可靠性；加权平均数；中位数；众数．
【答案】（1）3，3.5，4；
（2）①七年级；②八年级；
（3）60人．
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可分别得出七年级和八年级的10名学生的训练成绩，再分别根据平均数、中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）比较得出相应的数据即可求出结论；
（3）运用样本估计总体即可求解．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，七年级训练得1分的人数为：10×30%＝3（人）；
得3分的人数为：10×20%＝2（人）；
得4分的人数为：10×40%＝4（人）；
得5分的人数为：10×10%＝1（人）；
得分按大小顺序排列为：5，4，4，4，4，3，3，1，1，1
所以，中位数为（分），众数为：c＝4（分）；
从条形统计图可得出八年级训练得分为：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，
所以，训练得分平均数为：（分），
故答案为：3，3.5，4；
（2）①七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩众数大于八年级训练成绩的众数，
所以，样本中成绩较好的是七年级，
故答案为：七年级；
②七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩的方差大于八年级成绩的方差，故成绩相对更加稳定的是八年级，
故答案为：八年级；
（3）200×＝60（人），
答：估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生有60人．
【点评】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的求法是解答本题的关键．
20．（7分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 5 米，用含有x的式子表示AC为 （x+1） 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【考点】勾股定理的应用；列代数式．
【答案】（1）5；（x+1）；
（2）12米．
【分析】（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．
故答案为：5；（x+1）；
（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2＝AC2，
即52+x2＝（x+1）2．
解得x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（6分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
【考点】平行线的性质；平移的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD＝180°﹣∠2，∠DBC＝∠1，结合图形计算，证明结论；
（3）过点C作CE∥a，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°；
（2）理由如下：过点B作BD∥a，
则∠ABD＝180°﹣∠2，
∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，
∴∠DBC＝∠1，
∵∠ABC＝60°，
∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°；
（3）∠1＝∠2，
理由如下：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAM＝2∠BAC＝60°，
过点C作CE∥a，
∴∠2＝∠BCE，
∵a∥b，CE∥a，
∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°，
∴∠ECA＝∠CAM＝30°，
∴∠2＝∠BCE＝60°，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键．
22．（9分）某商场第一次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第一次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进A，B两种商品，共100件，A商品按原售价九折销售，B商品按原售价销售，且两种商品全部销售完毕，设A商品购进a件，第二次经营活动获得利润W元．
①求W与a的函数关系式；
②若购进A商品的数量不低于20件，则商场应该如何购进两种商品，可以获得最大利润，并求出最大利润．
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）商场第一次购进A种商品200件，购进B种商品150件；（2）商场应该购进A种商品20件，购进B种商品80件，此时可以获得最大利润，最大利润为16300元．
【分析】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据题意即可求得；②根据一次函数的单调性，即可求得．
【解答】解：（1）设商场第一次购进A种商品x件，购进B种商品y件，
，
解得 ，
答：商场第一次购进A种商品200件，购进B种商品150件．
（2）①W＝（1350×90%﹣1200）a+（1200﹣1000）（100﹣a）
＝﹣185a+20000；
②由已知得：a≥20，
∵k＝﹣185＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当 a＝20时，W＝﹣185×20+20000＝16300，
∴100﹣a＝80；
答：商场应该购进A种商品20件，购进B种商品80件，此时可以获得最大利润，最大利润为16300元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识点．
23．（9分）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【考点】一次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴，解得
∴m＝3；
综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
5．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
9．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
10．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
11．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
14．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
15．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
16．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
20．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
21．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
22．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
23．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
24．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
25．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
28．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
31．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
32．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
33．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
34．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
35．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
36．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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平均数
众数
中位数
方差
9.15
9.2
9.1
0.2
平均成绩/分
中位数/分
众数/分
方差/分
七年级
3
b
c
2
八年级
a
3
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0.6
价格商品
进价（元/件）
售价（元件）
A
1200
1350
B
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