山西省吕梁市大联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份山西省吕梁市大联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
（本试题满分120分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1．年月，河南智慧交通产业博览会举办，旨在助推交通产业高质量发展，谋划新时代智慧交通新格局．下列“智慧交通”的首字母中，是中心对称图形的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点O是的外接圆的圆心，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．2023年10月8日，杭州亚运会圆满闭幕．杭州亚运会吉祥物是三个小可爱，分别是琮琮、宸宸和莲莲将三张正面分别印有“宸宸”，“琮琮”和“莲莲”3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状，大小质地均相同）背面朝上，洗匀，若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为3，则的值为（ ）
A．3B．-3C．6D．-6
7．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上
B．函数的最小值为
C．当时，y随x的增大而减小
D．图象可由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到
8．海河是河北省一大河流，是我国七大河流之一．某市图书馆2021年年底海河研究相关文献馆存数量为2万份，到2023年年底相关文献馆存数量为2.42万份，设海河研究相关文献馆存年均增长率为．根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在平行四边形中，E是上的3等分点，交于点F，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为 ．
12．已知m是方程的一个根，则的值为 ．
13．如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
14．如图，在中，是的直径，是的弦，且，垂足为点，若，，则 ．
15．如图,在平面直角坐标系中,是直角三角形,,其直角顶点A在x轴的正半轴上,点在反比例函数)的图象上,与y轴交于点D,且x轴,若反比例函数的图象经过点 C,则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．为提高学生的反诈意识，某学校组织学生参加了“反诈知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（不合格），B（一般），C（良好），D（优秀），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，其中成绩为一般的学生人数______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)学校要从答题成绩为D的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去参加市里组织的“反诈小达人”比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．一次函数的图象与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若为轴上的一个动点，连接，的面积为时，求点的坐标．
19．如图，已知在等腰中，，点D，点E分别在边和边上，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．阅读与思考
【材料1】若代数式在实数范围内可因式分解为．令可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两“共生根”与各项系数之间的关系为：，．
【材料2】已知实数，满足，，且．根据材料求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的“共生根”，
根据材料1得，，
．
【解决以下问题】
(1)方程的两“共生根”为，，则 ， ；
(2)已知实数，满足，，且，求的值．
21．如图，为的直径，点D为圆上任意一点，过点D作的切线交直径的延长线于点C，过点O作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
22．综合与实践
【问题情境】
如图1，正方形中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形，使得，将绕点B按顺时针方向旋转，得到△（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．
【解决问题】
请根据图1完成下列问题：
（1）若，则∠= 度；
（2）试判断四边形的形状，并给予证明；
【拓展探究】
（3）如图2，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
23．综合与探究
如图，抛物线的图象与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，其中，，连接．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上确定一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据将一个图形沿一个点旋转后图形与原图形完全重合的图形叫中心对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
是中心对称图形，符合题意，
是中心对称图形，符合题意，
不是中心对称图形，不符合题意，
不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：，
，即，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查同圆或等圆中同弧或等弧圆周角等于圆心角一半，根据此性质直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式即可求解．
【详解】解：从3个吉祥物图案的卡片中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．
【详解】∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵，
∴．
故选：A．
6．D
【分析】根据的面积为3， 的面积为，即可列得等式求出k的值.
【详解】由题意得=3，解得k=6或k=-6，
∵图象在第二象限，
∴k，
∴k=-6，
故选：D.
【点睛】此题考查反比例函数解析式中的比例系数k的几何意义，由反比例函数图象上的一点向坐标轴作垂线，构成的矩形面积等于，连接该点与原点，将矩形分为两个三角形，面积等于.
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象、性质、最值、掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答．
【详解】解：∵二次函数，
∴，函数图象开口向上，
故A选择正确，不符合题意；
函数的最小值为－4，
故B选项正确，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，
故C选项正确，不符合题意；
图象可由抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，增长率问题，某市图书馆2021年年底海河研究相关文献馆存数量为2万份，设海河研究相关文献馆存年均增长率为．故2022年年底海河研究相关文献馆存数量为万份，则2023年年底海河研究相关文献馆存数量为万份，据此即可作答．
【详解】解：依题意，设海河研究相关文献馆存年均增长率为．
根据题意，可列方程为
故选：C
9．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出，进而求出答案．
【详解】解：在平行四边形中，E是上的3等分点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：由图可知，抛物线的开口向下，对称轴位于y轴的左侧，与y轴正半轴交于一点，
即，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限．
故选项B符合题意．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则求解即可，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线，即，
答案为：．
12．
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想．根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值．
【详解】解：m是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
13．##39度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
，，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意可得，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后由进行计算即可，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：在中，是的直径，是的弦，且，，，
，，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了反比例函数和相似三角形的相关知识,熟悉相关知识求得的长是关键．
分别过B、C作x轴的垂线,垂足记为F、E,先由点B在上求得的值,再据轴求得的值；由求得的值,从而得到的长,从而求得点C的坐标,把之代入到中求得k值．
【详解】如下图,分别过作x轴的垂线,垂足记为,
∵点在反比例函数的图象上,
∴,得
∴
又
∴；
∵
∴与互余
又与互余
∴
又
∴
∴
∴
∴,
∴
∴,把C点坐标代入到中得
．
故答案为：．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）解：
∴移项，得，
∴配方，得，
，
∴，
解得，；
（2）
∴移项，得
∴因式分解，得
∴或，
解得，．
17．(1)50，12
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出D等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可．
【详解】（1）解：由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：（人，
，
（2）解：由（1）知，，
等级为D的有：（人，
补充完整的条形统计图如图所示，
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
18．(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）把分别代入反比例函数和一次函数求解即可；
（2）由图象即可得出答案；
（3）先求出，，表示出，根据得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵的图象经过点，
，
，
∴一次函数的解析式为，
把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为：或；
（3）解：设直线交轴于点，
在中，当时，，
，
当时，得，
解得：，
，
，
，
，
，，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或．
19．(1)证明详见解析；
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的性质得出，再根据三角形的内角和以及判断出，进而得出，从而证明，即可得出结论；
（2）证明，得，即．把，代入即可求得，由即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
，
，
，
，
又∵，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵
，
∵，
，
，即．
，，
，
．
20．(1)2；
(2)
【分析】本题考查新定义运算“共生根”，读懂题意，理解“共生根”定义，按要求求解即可得到答案，注意代数式求值时利用整体代入的方法可简化计算．
（1）利用“共生根”的定义求解即可得到答案；
（2）、可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用“共生根”定义得到，，先计算，然后代入求值求解即可．
【详解】（1）解：方程的两“共生根”为，，
根据题意得，，
故答案为：2；；
（2）解：，，且，
、可看作方程的两个不相等的“共生根”，
，，
，
．
21．(1)证明详见解析
(2)6
【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．
（1）连接，证明，可得证，得出，即可得出是的切线；
（2）设的半径长为r，则，，在中，由勾股定理得，代入即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
（2）设的半径长为r，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即的半径长为6．
22．（1）59；（2）四边形是正方形，证明详见解析；（3），证明详见解析．
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握正方形的性质，旋转性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，即可求解；
（2）先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边线段即可得证；
（3）过点D作，垂足为Q，先证，在证，结合旋转性质，得到，根据正方形性质得，即可得结论；
【详解】解：（1）将绕点B按顺时针方向旋转，得到△，
，
,
,
四边形是正方形，
,
,
故答案为：59
（2）四边形是正方形，证明如下：
由旋转的性质得： ，
，
又，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（3）如图，过点D作，垂足为Q，
，
．
四边形是正方形，
，，
．
，
，
，
，
，，
．
将绕点B沿顺时针方向旋转，得到，
．
，，
，
四边形是正方形，
，
，
．
23．(1)
(2)当时，最大，且最大值为
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作轴交于，求出直线的解析式为，，则，，表示出，由二次函数的性质即可得出答案；
（3）设，，分三种情况：若、为对角线，则、的中点重合；若、为对角线；若、为对角线；分别求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得：，
该抛物线的表达式为：；
（2）解：如图，作轴交于，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，则，
，
，
，
当时，最大，且最大值为；
（3）解：由（2）知，，，
由得：，，
，抛物线的对称轴是直线，
设，，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则有，
解得，
；
若、为对角线，则有，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、三角形面积、平行四边形的性质及应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．