山西省吕梁市中阳县2023-2024学年九年级上学期期数学试题(含答案)

这是一份山西省吕梁市中阳县2023-2024学年九年级上学期期数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．校微是一所学校的外在形象标志，象征性诠释了学校的特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校微的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列选项中，属于随机事件的是（ ）
A．在一个只有红球的口袋中，摸出白球B．a是负数，则
C．某同学练习投篮，其中一次投中篮筐D．两个等边三角形相似
3．如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点、，，若，，则的长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
4．如图，点，，均在上，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8B．2C．3D．4
7．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤B．k＜C．k≤且k≠1D．k≥
8．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（ ）
A．都相似B．只有图①相似C．只有图②相似D．都不相似
9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，，则下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点，与轴交于点．若，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
二、填空题
11．如果两个相似三角形的对应边的比是，那么它们的周长比为 ．
12．爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ．
13．手工制作活动中，小明和小李两位同学制作圆锥，他们剪切了一个直径为的圆形纸片．如图，小明经过测量并剪下了一个圆弧所对的圆周角为（即）的扇面，小李利用剪下的扇面制作一个圆锥，则他们制作的圆锥的侧面积为 ．（结果保留）
14．如图，是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则的值为 ．
15．如图，点在轴上，，点在轴正半轴上．将绕着点顺时针旋转得到，若点的横坐标为7，过点作轴，垂足为，则的面积为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：；
（2）已知，是反比例函数的图象上的两点．求反比例函数解析式及的值．
17．如图，在中，．
(1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
18．在互联网发达的今天．网络电商平台越来越多．针对人们常用的购物商城使用情况，某实验学校对九年级部分学生自己喜爱的商城情况进行调查了解：．某宝；．某拼；．某东；．某会；．某猫．将自己喜爱的商城人数绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次参加调查的学生人数是________；把条形统计图补充完整；
(2)若在组中选出的3名同学（1名男生和2名女生）和组中选出的3名同学（2名男生和1名女生）中各推荐1名学生在主题班会上发言推荐自己喜爱的商城，请用列表或画树状图的方法求所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的概率．
19．今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)确定与的函数解析式，并求出首付款的数目．
(2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？
(3)如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？
20．如图，是的直径，是上一点，是外一点，连接交于点，连接，连接交于点，连接，且．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)当，时，求的长．
21．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指________________；依据2是指________________．
(2)如图3，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，求的长．
22．综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．
23．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴交于点，对称轴是直线，交轴于点．
(1)求该二次函数及所在直线的解析式；
(2)如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，，连接．若和的面积分别为，，请直接写出的最大值．
阿基米德折弦定理
从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若，是的折弦．是的中点，于点，则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．
证明如下：如图2，在上截取，连接，，，．
则（依据1）．
∵是的中点，∴，
∴．
在和中，
∴，∴．
∵于点，∴（依据2）．
∴．

图1 图2
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、属于不可能事件，不符合题意；
B、属于必然事件，不符合题意；
C、属于随机事件，符合题意；
D、属于必然事件，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆心角度数是圆周角度数的两倍得到，由垂直的定义得到，则．
【详解】解；∵，
∴，
∵，即，
∴，
故选：D．
5．D
【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项D图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选D．
6．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．C
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，
∴且，
解得：k≤且k≠1．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．
【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等；
图（2）∵，，，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的性质，根据已知设的点C和点B的坐标，代入解析式即可求得对应关系．
【详解】解：设，则点，点，
，整理得，
那么．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，作轴，轴，可证得；设，，根据点在直线上可求出．巧妙设出两点的坐标是解题关键．
【详解】解：作轴，轴，如图所示：
由题意可得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴
设，，
∵点是直线上的点，
∴
由题意得：直线的解析式为：
∵点是直线上的点，
∴
∴，
解得：，
∴
∴
故选：D
11．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的周长比为．
故答案为．
12．75
【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键．
先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答．
【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右，
∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为，
∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是
故答案为：75．
13．
【分析】此题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理和扇形面积公式，在优弧取一点，连接，，由圆内接四边形性质，圆周角定理求出阴影部分扇形的圆心角为，然后用扇形面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用．
【详解】如图，在优弧取一点，连接，，
∴，
∴，
∴，
则阴影部分扇形的圆心角为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
解得：
∵点是反比例函与的一个交点，
∴．
∴
∴，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了旋转的性质和含角直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，首先将绕点顺时针旋转，得到，延长交轴于点，即可求出，，．然后求出，进而求出的面积．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，延长交轴于点．
在中，，则，，
∴．
在中，
∴，
∴的面积，
故答案为．
16．（1），．（2），．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求反比例函数解析式：
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）把点代入反比例函数，求出k，再把代入，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，．
（2）将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为．
将点代入反比例函数，得，
解得．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定．
（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可．
（2）根据三角形相似的判定解答即可．
【详解】（1）根据基本步骤作图如下：
则即为所求．
（2）∵ 的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．(1)80．图见解析
(2)
【分析】本题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由B组的人数除以B组的所占百分比可得本次参加调查的学生人数；求出D组人数，从而补全条形统计图；
（2）运用列表法，共有9种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次参加调查的学生人数：（人）；
可得组的人数为（人），
∴条形统计图补充完整如图所示．
（2）解：依题意，
列表如下．
所有等可能的情况有9种，其中满足条件的有5种，
∴（所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生）．
19．(1)y与x的函数关系式为，首付款为5万元；
(2)平均每月应付万元；
(3)张先生至少要50个月才能结清余额．
【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答．
（1）利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值；
（3）知道了因变量的值，利用解析式即可求出自变量的值．
【详解】（1）解：由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为，
把代入关系式得，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
∴（万元）．
∴首付款为5万元；
（2）解：当时，（万元），
答：平均每月应付万元；
（3）解：当时，，
解得．
答：张先生至少要50个月才能结清余额．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定；
（1）先推出，进而即可得到；
（2）由，可得，即可得到结论；
（3）先推出，从而得是等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
（2）∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵为半径，
∴是的切线．
（3）∵，，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
21．(1)同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一．
(2)
【分析】本题考查圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质即可得到答案；
（2）过点作于点．先求出，再求出，从而得，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一．
（2）如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴∠，
∵，圆的半径为10，
∴，
∴，
∵，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
22．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和勾股定理，
（1）根据题意可证得，则有，即可求得答案；
（2）过点作于点，过点作于点，且交于点，根据矩形的性质得和，进一步证得，即有结论成立；
（3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
（2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
同理，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）过点作，延长交于点，如图，
在中，，，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)，．
(2)存在，或．
(3)
【分析】（1）由，的坐标，对称轴是直线，利用待定系数法可求得二次函数及所在直线的解析式；
（2）由题意可得，，，，，，分两种情况：当时，，当时，，利用相似三角形的性质得到，过点作轴于点，求得，代入所在直线解析式为，即可求出点的坐标；
（3）可设出点坐标，表示出，利用可表示成关于点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
设所在的直线解析式为，将点，代入，
得，解得，
∴所在直线解析式为．
（2）解：存在．
∵对称轴是直线，点的坐标为，
∴点的坐标为
∵点，，，
∴，，，，，
∴，
分两种情况：①如图所示，当时，，
∴，即，解得，
过点作轴于点
∵轴，
∴，
∴，解得，
把代入，得，
∴此时，点的坐标为；
②如图所示，当时，，
∴，即，得．
过点作轴于点．
∵轴，
∴．
∴，即，解得．
把代入，得．
∴此时，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
（3）解：设点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，三角形面积，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，函数图象的交点，方程思想及分类讨论思想，熟练掌握表达式求法，二次函数的图象性质等知识是解题的关键．
男
女1
女2
男1
（男，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女
（男，女）
（女1，女）
（女2，女）