专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15346" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15346 \h 1
\l "_Tc24708" 二、典型题型 PAGEREF _Tc24708 \h 2
\l "_Tc28986" 题型一：求二面角 PAGEREF _Tc28986 \h 2
\l "_Tc10946" 题型二：已知二面角求参数 PAGEREF _Tc10946 \h 4
\l "_Tc18016" 题型三：求二面角最值（范围） PAGEREF _Tc18016 \h 7
\l "_Tc14678" 三、专项训练 PAGEREF _Tc14678 \h 10
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线、,则称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（2024·河北沧州·一模）已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ．
4．（2024·湖北黄石·三模）如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)如果，，求二面角的余弦值.
5．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在三棱柱中，底面侧面，，，.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角.
6．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

(1)证明：平面ABC；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．
题型二：已知二面角求参数
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，四边形为矩形，且，是线段上的一个动点，且.
(1)试探究当为何值时，∥平面，并给出证明；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
2．（2024·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且．
(1)求证：．
(2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
3．（2024·全国·模拟预测）如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
4．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
5．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由．
6．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，平面.
(1)求证：平面垂直平面；
(2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的正弦值.
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 .

2．（19-20高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则 ．
3．（19-20高二上·浙江绍兴·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均等于，为线段上的动点，则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为 .
4．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．
(1)求证：平面ACDE；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值；
(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．
5．（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．
(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．
6．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．
7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点为线段的中点时，求证：；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，若，，，则二面角的正弦值为 ．

2．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．

3．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ．
4．（2024高二上·江苏·专题练习）在正方体中，点E为的中点，则直线与所成的角的余弦值为 ；平面与平面所成锐二面角的余弦值为 .
5．（23-24高二上·广东汕尾·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .

6．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ．
7．（22-23高二上·浙江温州·期中）如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为 ．
8．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为 ．

9．（22-23高二下·江苏徐州·期中）三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是 .
10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成角为，求的值.
11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
(1)求证：当为中点时，平面；
(2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．
12．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角.

(1)求证：平面；
(2)若，二面角的正弦值为，求的值.
13．（2024·全国·模拟预测）已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
14．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙．
(1)证明；平面ABC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.

(1)若为的中点，求证：；
(2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
16．（20-21高三上·山东青岛·期中）在多面体中，平面为正方形，，，，二面角的平面角的余弦值为，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.