备战2025年高考数学北京模拟卷二

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若向量满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知二项式的展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足MA=MF，则（ ）
A．1B．C．2D．
7．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
8．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．27D．
10．已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 .
12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
13．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点（不在坐标轴上）．过点作轴的垂线，垂足为．若记为点到直线的距离，则的最大值为 ，此时的一个取值为 .
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
15．已知函数，给出下列四个结论：
①对任意实数，函数总存在零点；
②存在实数，使得函数恒大于0；
③对任意实数，函数一定存在最小值；
④存在实数，使得函数在上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
在中，，.
(1)求的大小；
(2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
17．（14分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18．（13分）
2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求，的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
(3)若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值．（直接写出答案）
19．（15分）
设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
20．（15分）
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设，若对于恒成立，求的最小值．
21．（15分）
设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
实践 理论
基础
中等
优异
基础
中等
优异