全真模拟卷01（解析版）-2023年高考数学全真模拟卷(北京卷)

2023年高考全真模拟卷（一）

数学（北京卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，

，

故选：C.

2．若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】因为，所以.

所以，对应的点为，位于第三象限.

故选:C.

3．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【详解】的展开式的通项，

令得，因为，所以当时，有最小值3，

故选：B

4．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】设函数，

则，

即为单调增函数，则，

即得，

所以当时，成立，

当时，，但推不出成立，

故“”是“”的充分而不必要条件，

故选：A

5．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ）

A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时

【答案】C

【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,

即当小于等于200时,适宜开展户外活动,

即,

因为,

所以当时,

只需,

解得:,

当时,

只需,

解得:,

综上: 适宜开展户外活动的时间段为,

共计7个小时.

故选:C

6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，

所以双曲线离心率.

故选：D

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，

所以,

故选：B.

8．已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为最小正周期为，所以，解得，所以；

将图像向左平移个单位长度得，

因为图像关于轴对称，所以，

解得，则当时，，其他选项不满足题意，

故选：D.

9．正方体棱长为，是棱的中点， 是正方形及其内部的点构成的集合．设集合，则集合表示的区域面积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、，设点，其中，，

由可得，可得，

所以，点的轨迹是底面内以点为圆心，半径为的扇形（不包括圆弧），

故集合表示的区域的面积为.

故选：A.

10．是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…,那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，

所以周长为

因为，所以，

所以原式

故选：C

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】当，即，解得；

当，即，解得.

故实数的取值范围是.

故答案为：

12．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如（，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：（1，2，3，…），为常数，表示数列的前项和，若，则______.

【答案】

【详解】∵，则,显然

∴数列以首项为，公差为1的等差数列

又∵，即则

∴

故答案为：.

13．已知为第二象限角，，则的值为___________.

【答案】##

【详解】解：因为为第二象限角，

所以，，

所以，

故答案为：

14．对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集.

（Ⅰ）若，，则可以构成_____组优先点；

（Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有_____个．

【答案】         

【详解】（Ⅰ）由得：，

则满足“”的有：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共组；

（Ⅱ）集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，

集合中的任意两个点都不满足和；

①若且，此时中元素只能成对出现，

若，，，此时，则和，均不构成一组优先点，但和构成一组优先点，不合题意；此时中仅有两个元素；

②若且，则与，情况相同，中仅有两个元素；

③若，若或，则满足或，不合题意，；

此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意；

若集合中的元素最多有个.

故答案为：；.

15．已知函数．

①当时，的极值点个数为__________；

②若恰有两个极值点，则的取值范围是__________．

【答案】         

【详解】①当时，；

，为连续函数；

在上单调递增，在上单调递减，

和是的极值点，即的极值点个数为；

②，为连续函数，

为单调函数，在上无极值点；

又在上至多有一个极值点，

和必为的两个极值点，，解得：，

又在上单调递减，在上单调递增，；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．在中，是边上一点，，，，.

(1)求的长；

(2)求的面积.

【答案】(1)2(2)

【详解】（1）因为，

则，，，

中，,

即，解得：或（舍），

所以；

（2），

因为

所以，，

所以.

17．如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点.

(1)求证:平面；

(2)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）取中点，连接，,

因为为中点，所以有且,

因为，，所以且,

所以四边形为平行四边形,

所以,

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）选择条件①：

因为平面平面，为矩形,,

平面平面平面,

所以平面,平面,

所以,

又因为，由（1）可知，平面，

所以，又因为，平面，

所以平面,平面,所以,

平面,故平面,

以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立坐标系，

则，，，,

则，，设平面的法向量，

则，令，则，

因为平面，故可作为平面的法向量，

则平面与平面夹角的余弦值.

选择条件②：.

因为平面平面，为矩形,

平面平面平面,

所以平面,所以,

又因为，

取中点为，连接，，

则有，,

所以,

所以,则,所以,

平面,故平面,

以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，,

则，，设平面的法向量，

则，令，则，

因为平面，故可作为平面的法向量，

则平面与平面夹角的余弦值.

18．为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．

(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为1

(3)2

【详解】（1）只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，

故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；

（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，

只服用药物B的患者7天内康复的概率为，

其中X的可能取值为，

，，

，

则分布列为：

数学期望为；

（3）只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，

，

令，即，

解得：，因为，所以.

19．已知椭圆过点和.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：

（2）若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.

若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或

，所以直线的方程为，取得，同理可得

由得，即，所以，即，即

即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为

综上所述，直线的方程为或.

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）当时，，

所以

又因为，，

所以在处的切线方程为，即

（2）由题意知，的定义域为R

①当时，，则当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，由得或，

（i）若，则，所以在R上单调递增，

（ii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

（iii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和；

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和．

21．已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中．

(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

(2)当时，若，求证：；

(3)当时，若，求证：．

【答案】(1)；

(2)见解析；

(3)见解析.

【详解】（1）因为数列A：4，3，2，1，，

所以.

因为，

所以，，，

，.

故数列A的伴随数列为.

（2）当时，，显然有；

当时，只要证明.

用反证法，假设，

则，从而，矛盾.

所以.

再根据为正整数，可知.

故当时，.

（3）当时，，有，此时，命题成立；

当时，由（2）的结论，中至少有两个1，

现假设中共有个1，即

则.

因为若，则，矛盾.

所以.

根据的定义可知，，，

，

以此类推可知一直有，再由后面，可知；

另一方面与奇偶性相同，所以.