2020-2021学年吉林省长春市绿园区解放大路中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年吉林省长春市绿园区解放大路中学八年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的平方根是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+1）2＝a2+1B．5a2﹣3a2＝2
C．2a+3b＝5abD．（ab3）2＝a2b6
4．（3分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°（ ）
A．70°B．44°C．34°D．24°
6．（3分）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
7．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
8．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．
二、填空题（共六题：共18分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝5，则（a+b）2＝ ．
11．（3分）若2a﹣5b﹣4＝0，则4a÷32b＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，交AC于点D，∠B＝70°，则∠C＝ °．
13．（3分）在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC °．
14．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm．
三、解答题（共十题：共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2（1﹣2a），其中．
16．（8分）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）﹣2x3+12x2﹣18x．
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，点C在DE上．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BDA＝35°，则∠BDE＝ °．
20．（8分）已知图①、图②都是5×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）在图①的方格纸中画出一个面积为13的正方形，使它的顶点都在格点上．
（2）在图②的方格纸中画出一个三边均为无理数的直角三角形，使它的顶点都在格点上．
21．（8分）如图，在△ABC中，BC＝9，在△ABE中，DE是AB边上的高，△ABE的面积为60．
（1）AB的长为 ．
（2）求四边形ACBE的面积．
22．（8分）我们知道，对于任意一个实数a，“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“a2≥0”来解决问题．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1．
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ．
（2）请用作差法比较x2﹣2与2x﹣5的大小，并写出解答过程．
（3）求x2﹣4x+y2+2y+8的最小值．
23．（8分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
3．角平分线
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示，P是OC上任一点，作PD⊥OA，垂足分别为点D和点E，将∠AOB沿OC对折，由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图1所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．
求证：PD＝PE．
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．
（1）请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程．
（2）【应用】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，若AB＝13，AF＝8 ．
（3）【拓展】如图3，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，∠C＝45°，DE＝3，则△ABD的面积为 ．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CD⊥AB交AB于点D，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB边上的速度为每秒5个单位长度，连结CP，设点P的运动时间为t秒．
（1）AB的长为 ，CD的长为 ．
（2）当点P在BC边上运动时，CP＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）以CP为边构造的正方形面积为S（S＞0），用含t的代数式表示S．
（4）直接写出当△APC是等腰三角形时t的值．
2020-2021学年吉林省长春市绿园区解放大路中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共八题：共24分）
1．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±）8＝，
∴的平方根是±，
故选：C．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
2．【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠3．
故选：D．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．
3．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2a+2，不符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式不能合并；
D、原式＝a4b6，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．本题解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解．
【解答】解：由x+2＞0得x＞﹣3，
由2x﹣6≤5，得x≤3，
把解集画在数轴上为：
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．【分析】由AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
6．【分析】利用勾股定理分别求出各条线段的长，找到长度为有理数的线段即可．
【解答】解：观察图形可知PA＝4，
由勾股定理得：
PB＝＝，
PC＝＝5，
PD＝＝2，
PE＝＝，
故其中长度是有理数的有6条．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，勾股定理是几何图形中求线段长最重要、最基础的方法．
7．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a8﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
8．【分析】作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，AD＝，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC＝，可得2×4＝5×BP；
即线段BP的最小值是．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题（共六题：共18分）
9．【分析】根据（﹣3）3＝﹣27，可得出答案．
【解答】解：＝﹣3．
故答案为：﹣7．
【点评】此题考查了立方的知识，属于基础题，注意立方根的求解方法，难度一般．
10．【分析】根据完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，进行计算即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝37+4×5＝8+20＝29，
故答案为29．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式以及它们之间的关系是解题的关键．
11．【分析】由已知条件得：2a﹣5b＝4，再利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：∵2a﹣5b﹣3＝0，2a﹣3b＝4，
∴4a÷32b＝22a÷28b＝22a﹣5b＝24＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．
12．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠FAE＝19°，
∴∠FAC＝∠C+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，
则∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，
解得：∠C＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．【分析】作AB关于竖直边的对称线段AD，连接CD，根据勾股定理分别求出AD2、DC2、AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ADC为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出∠DCH＝∠2，结合图形计算即可．
【解答】解：如图，作AG⊥BG交于点G，连接AD，过C作CH⊥DH交于点H，
由勾股定理得，AD2＝24+12＝3，CD2＝25+12＝6，AC2＝33+12＝10，
则AD6+DC2＝AC2，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
又∵AG∥CH，
∴∠8＝∠ACH，
∵AG＝DH＝1，BG＝DH＝2，
∴△ABG≌△DCH（AAS），
∴∠DCH＝∠8，
∴∠1+∠2＝∠ACH+∠DCH＝∠ACD＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣7+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
故答案为：13
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
三、解答题（共十题：共78分）
15．【分析】根据整式的运算及乘法公式进行化简即可，然后把代入求解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4a+5+a2﹣1﹣8+4a＝2a6+1，
把代入得：原式＝5×3+1＝6．
【点评】本题主要考查整式的运算及乘法公式，关键是熟记公式及方法是解题的关键．
16．【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式，即可分解因式；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+5）（x﹣3）；
（2）原式＝﹣2（x5﹣6x+9）
＝﹣8（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法，平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．
17．【分析】（1）先算乘方，然后运算除法解题即可；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可．
【解答】解：（1）
＝
＝4x2﹣7x﹣2；
（2）
＝
＝7．
【点评】本题考查整式的乘除运算和二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．【分析】（1）先把分式的分子分母分解因式，再把除法转化为乘法约分即可；
（2）把分式的分子分母分解因式，再把除法转化为乘法约分即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．【分析】（1）根据等式的性质，可得∠BAD＝∠CAE，根据SAS可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得∠ADC＝∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，
∴∠ADC＝∠AEC，
∴∠BDA＝∠ADC＝35°，
∴∠BDC＝2∠BDA＝2×35°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．
20．【分析】（1）面积为13的正方形的边长为，即为边长为2和3的直角三角形的边长，作图即可；
（2）先找出三个无理数，使其两数的平方和等于另一个无理数的平方，再利用勾股定理在图中作出以这三个无理数为边长的三角形即为所求．
【解答】解：（1）所作正方形如图①：
；
（2）所作直角三角形如图②：
．
【点评】本题考查勾股定理和逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
21．【分析】（1）根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，求出△ABC的面积，进而可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
∴AB＝15，
故答案为：15．
（2）∵在△ABC中，BC＝3，AB＝15，
∴AC2+BC2＝32+122＝225，AB7＝152＝225，
∴AC2+BC3＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
∴四边形ACBE的面积＝S△ABC+S△ABE＝54+60＝114．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是证明△ABC是直角三角形．
22．【分析】（1）由x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1，再配方即可；
（2）利用作差法和配方法将代数式化为完全平方与一个常数和的形式，再利用非负数的性质可得答案；
（3）由x2﹣4x+y2+2y+8＝（x﹣2）2+（y+1）2+3，再利用非负数的性质可得答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+7+1＝（x﹣2）6+1．
故答案为：﹣2；3．
（2）x2﹣2﹣（8x﹣5）＝x2﹣6x+3＝x2﹣3x+1+2＝（x﹣8）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣8）2+2≥3＞0，
∴x2﹣4＞2x﹣5．
（3）x3﹣4x+y2+5y+8＝x2﹣7x+4+y2+4y+1+3＝（x﹣5）2+（y+1）2+3，
∵（x﹣2）8≥0，（y+1）5≥0，
∴（x﹣2）4+（y+1）2+3≥3，
即x2﹣5x+y2+2y+3≥3，
∴x2﹣6x+y2+2y+8的最小值为3．
【点评】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23．【分析】（1）利用AAS，证明△PDO≌△PEO，即可得证；
（2）证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，证明△CDF≌△EDB，得到CF＝BE，根据AB＝AE+BE，AC＝AF+CF，根据线段的转化，进行求解即可．
（3）过点D作DF⊥AB，得到DE＝DF，根据三角形内角和定理，推出∠A＝∠BDA，进而得到：AB＝BD，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POD，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
又∵OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE；
（2）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
同（1）法可得：△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵BD＝DF，DE＝DC，
∴△CDF≌△EDB（HL），
∴CF＝BE，
∵AB＝AE+BE＝AC+CF，AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+CF+CF，即：13＝8+2CF，
∴；
故答案为：；
（3）解：过点D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC，
∴DF＝DE＝3，，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝BD＝6，
∴；
故答案为：9．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
24．【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积可以求出；
（2）点P在AB边上运动运动时间为1秒，则PC＝4﹣2（t﹣1），整理即可；
（3）分两种情况计算，点P在AB边上时，利用勾股定理先求出AP，再利用S＝PC2＝AP2+DP2，点P在BC边上时，由（2）可以直接得到；
（4）分情况逐一列出方程求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝3，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5，；
（2）当点P在BC边上运动时，PC＝4﹣2（t﹣2）＝6﹣2t，
故答案为：8﹣2t；
（3）当点P在AB边上运动时，
在Rt△ACD中，，AP＝2t，，
在Rt△PCD中，S＝PC2＝AP2+CD3，＝，＝25t2﹣18t+9，
当点P在BC边上运动时，S＝PC2＝（6﹣2t）5，＝4t2﹣24t+36，
∴；
（4），，，．
点P在AB边上时，0≤t≤8，
①当AP＝PC，即（5t）2＝25t7﹣18t+9，
解得：，
②当AP＝AC，即5t＝3，
解得：，
③当CP＝AC，9＝25t3﹣18t+9，
解得：或0（舍去），
当点P在BC边上运动时，8＜t＜3，
①AP＝AC，不成立；
②当CP＝AC，6﹣8t＝3
解得：，
③当AP＝PC，不成立，
综上所述：△APC是等腰三角形时，，，，．
【点评】本题考查二次函数，勾股定理，等腰三角形，解题的关键是运用分类讨论的进行计算．