专题24 线段最值问题-2024年中考数学二次函数压轴题讲义（含答案解析）

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(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
【分析】（1）将点，代入解析式即可求解；
（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得
解得，
故抛物线的表达式；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
点D的横坐标是，过点D作直线轴，
，，，
①如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
综上所述：线段的长为或．
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．

(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
(2)的取值范围为或
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，

∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，

∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（3）解：作，

设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，

设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可；
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：

设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．