2024-2025学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列表情符号中，不是轴对称图形的是
A．^^B．⑨⑨C．D．
2．（2分）下列数据不是勾股数的是
A．3，4，5B．5，12，13C．8，12，16D．9，40，41
3．（2分）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
4．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（2分）如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定 个．
A．2B．3C．4D．5
6．（2分）如图，已知点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③△是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（2分）等腰三角形的对称轴是 ．
8．（2分）如图，已知，，请你添加一个条件 ，使．
9．（2分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ．
10．（2分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交、于点、，，△的周长为，则△的周长是 ．
11．（2分）如图，在直角三角形中，，，，为△的中线，则的长为 ．
12．（2分）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为 ．
13．（2分）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
14．（2分）如图，平分，于，于，，，若，则 ．
15．（2分）如图，在△中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为 ．
16．（2分）如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为 ．
17．（2分）如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为 ．
18．（2分）如图，已知，△中，，，△的顶点、分别在、上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，△的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．（6分）如图，点在上，点在上，，．求证：．
20．（8分）如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
21．（8分）如图，在中，，，为的中点，交的平分线于，于，于交的延长线于．
（1）求证：；
（2）求的长．
22．（6分）利用网格线画图：
（1）在上找一点，使点到和的距离相等；
（2）在射线上找一点，使．
23．（8分）证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
已知： ．
求证： ．
证明：
24．（8分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
25．（10分）在△中，，点是射线上一动点（不与点、重合），以为边在其右侧作△，使得、，连接．
（1）如图①，点在线段上，求证：△△．
（2）设，．当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
26．（10分）【新知学习】
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．
【概念理解】
（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是 （填序号）；
【灵活应用】
（2）如图1，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得△为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
【深入探究】
（3）如图2，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿△的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为 ，那么为 时，△为“智慧三角形”．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）下列表情符号中，不是轴对称图形的是
A．^^B．⑨⑨C．D．
解：，，选项中的表情符号都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的表情符号不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
2．（2分）下列数据不是勾股数的是
A．3，4，5B．5，12，13C．8，12，16D．9，40，41
解：、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．
故选：．
3．（2分）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
解：根据题意得：当木凳所在位置到、、三个顶点的距离相等时，游戏公平，
线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
凳子应放的最适当的位置是在△的三边垂直平分线的交点．
故选：．
4．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
解：、已知两边和一角，不能画出唯一△，故本选项不符合题意；
、因为，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意；
、根据，，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
5．（2分）如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定 个．
A．2B．3C．4D．5
解：分为三种情况：①作的垂直平分线交南北公路于一点，此时；
②以为圆心，以为半径交南北公路于两点，此时；
③以为圆心，以为半径交南北公路于两点点除外，有一点），此时；
共点，
故选：．
6．（2分）如图，已知点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③△是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
解：点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形，
，，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
故①正确；
，
故②正确；
在△和△中，
，
△△，
，
，
△是等边三角形，
故③正确；
作于点，于点，
，
，
，
点在的平分线上，
平分，
故④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（2分）等腰三角形的对称轴是 底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线 ．
解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．
8．（2分）如图，已知，，请你添加一个条件 ，使．
解：添加条件：．
，
，
在和中，
，
，
故答案为：．（答案不唯一）
9．（2分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 10 ．
解：（1）当三边是，，时，，不符合三角形的三边关系，应舍去；
（2）当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是；
所以这个三角形的周长是．
故填10．
10．（2分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交、于点、，，△的周长为，则△的周长是 17 ．
解：边的垂直平分线分别交、于点、，
，，
△的周长为，
，
，
△的周长，
故答案为：17．
11．（2分）如图，在直角三角形中，，，，为△的中线，则的长为 6.5 ．
解：在直角三角形中，，，，
，
为△的中线，
，
故答案为：6.5．
12．（2分）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为 150 ．
解：，
该三角形是直角三角形，
其面积．
故答案为150．
13．（2分）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
14．（2分）如图，平分，于，于，，，若，则 3 ．
解：平分，，，
，
，，
，
即，
解得．
故答案为：3．
15．（2分）如图，在△中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为 1 ．
解：于点，于点，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，且，
，
，
，
故答案为：1．
16．（2分）如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为 46 ．
解：大正方形的面积为25，
，
，
，
；
故答案为：46．
17．（2分）如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为 ．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．（2分）如图，已知，△中，，，△的顶点、分别在、上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，△的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为 17 ．
解：取的中点，连接、、，
，△的顶点、分别在、上，
，
，，
，，
，
，
，且，
，
的最大值为17，
点到点的距离最大为17，
故答案为：17．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．（6分）如图，点在上，点在上，，．求证：．
【解答】证明：在△和△中，
，
△△，
．
20．（8分）如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
【解答】证明：（1）为等边三角形，
．
，
，．
是等边三角形．
（2）为等边三角形，
．
平分，
．
是等边三角形，
．
．
21．（8分）如图，在中，，，为的中点，交的平分线于，于，于交的延长线于．
（1）求证：；
（2）求的长．
解：（1）如图，连接、，
且平分，
．
为的平分线，，，
，
在和中
，
．
（2）在和中
．
．
，
．
，
，，
，
，
．
22．（6分）利用网格线画图：
（1）在上找一点，使点到和的距离相等；
（2）在射线上找一点，使．
解：（1）如图，点即为所求．
（2）如图，点即为所求．
23．（8分）证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
已知： 如图，在△中，， ．
求证： ．
证明：
【解答】已知：如图，在△中，，．
求证：．
证明：如图，延长到，使得，连接，
，，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
故答案为：如图，在△中，，，．
24．（8分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
解：连接，
，，，
，
，，
，，
，
△是直角三角形，
，
四边形的面积△的面积△的面积．
25．（10分）在△中，，点是射线上一动点（不与点、重合），以为边在其右侧作△，使得、，连接．
（1）如图①，点在线段上，求证：△△．
（2）设，．当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系是：或，理由如下：
①当点在线段上移动时，
由（1）可知：△△，
，
，
在△中，，
，
即；
②当点在的延长线上时，
同理可证：△△，
，
，，
，
，
即．
26．（10分）【新知学习】
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．
【概念理解】
（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是 ① （填序号）；
【灵活应用】
（2）如图1，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得△为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
【深入探究】
（3）如图2，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿△的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为 ，那么为 时，△为“智慧三角形”．
解：（1）直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，
①是“智慧三角形”．
故答案为：①；
（2）如图1，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作圆，交直线于点与点，则△和△都是“智慧三角形”；
（3）如图2中，
①当点在线段上，点在线段上时，若，则，
，
解得；
若，则，
，
；
②当点在线段上，点在线段上时，若，则，
，
；
若，则，
，
，
综上所述，满足条件的的值为1或或或7．
故答案为：1或或或7．