2024-2025学年苏教版选择性必修第一册 第1章　直线与方程 综合拔高练 作业

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综合拔高练五年高考练考点　直线方程及其应用1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.22.(2021上海,5)直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为　　　　. 3.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　. 三年模拟练应用实践1.(多选题)(2024江苏徐州第七中学月考)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是(　　)A.直线l与l1的斜率互为相反数B.所围成的等腰三角形的面积为1C.直线l关于原点的对称直线的方程为2x+y-1=0D.原点到直线l的距离为552.(2024山东济南历城第二中学联考)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),若直线l:ax+(a-3)y+1=0与△ABC的欧拉线垂直,则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为(　　)A.15,35　　　　B.-15,35C.15,-35　　　　D.-15,-353.(2024江苏南通海安高级中学月考)已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx+b(k>0)将△ABC分成面积相等的两部分,则b的取值范围是(　　)A.1-22,12　　　　B.1-22,12C.13,12　　　　D.0,124.(多选题)(2024福建德化第一中学质检)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则(　　)A.存在点P,使得PM⊥PNB.若△MNP为等腰三角形,则点P的个数为3C.PM+PN的值最小为29D.|PM-PN|的值最大为35.(2024山西部分名校联考)某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF,其中AB⊥AF,AF∥BC,AB∥DE,∠BCD=∠AFE,且tan∠BCD=-34,CD=EF=50米,BC=DE=80米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域,则该娱乐健身区域面积(单位:平方米)的最大值为　　　　. 6.(2023江苏盐城中学期中)已知P,Q分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-4,4),B(4,0),则AP+PQ+QB的最小值为　　　　. 7.(2023辽宁省实验中学月考)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.8.(2024重庆万州沙河中学月考)如图,直线l过点(3,4),与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△AOB的面积为24.点P为线段AB上一动点,PQ∥OB,且PQ交OA于点Q.(1)求直线l的斜率的大小;(2)若S△APQ=13S四边形OQPB,请确定P点在AB上的位置,并求出线段PQ的长;(3)在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.迁移创新9.(2023湖南怀化期中)某学校在矩形操场ABCD内进行体操表演,其中AB=40,BC=15,O为AB上一点,且BO=10,线段OC,OD,MN为表演队列所在位置(M,N分别在线段OD,OC上),△OCD内的点P为领队位置,且点P到OC,OD的距离分别为13,5,记OM=d,已知当△OMN的面积最小时,观赏效果最好.(1)当d为何值时,P为队列MN的中点?(2)求观赏效果最好时△OMN的面积.答案与分层梯度式解析综合拔高练五年高考练1.B　解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)=2k2+2=k2+k2+1+1≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤k2+1·2,所以d=|k+1|k2+1≤2,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=2,故选B.2.答案　π6解析　∵直线x=-2的斜率不存在,倾斜角为π2,直线3x-y+1=0的斜率为3,倾斜角为π3,∴直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为π2-π3=π6.3.答案　4解析　解法一:设Px0,x0+4x0,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2x0+2x0≥4,当且仅当x0=2x0,即x0=2时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(C≠0)(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由x+y+C=0,y=x+4x得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±42.因为x>0,所以y>0,所以C<0,所以C=-42,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是|C|2=4.三年模拟练1.ACD　由题意可知直线l与l1:2x-y+3=0的倾斜角互补,∴直线l的斜率为-2,故A正确;∵直线l过点P(-1,1),∴直线l的方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0,∵2×(-1)-1+3=0,∴点P在直线l1上,∴P为l1与l的交点,易求得l1与l在x轴上的截距分别为-32和-12,故所围成的等腰三角形的面积为12×-12+32×1=12,故B错误;易知点P(-1,1)关于原点的对称点为(1,-1),∴直线l关于原点的对称直线的方程为y=-2(x-1)-1,即2x+y-1=0,故C正确;原点到直线l的距离为|1|22+12=55,故D正确.故选ACD.2.B　由题意得△ABC的重心为-1+1+13,13,即13,13.易得kAB=0,直线BC的斜率不存在,故△ABC为直角三角形,则其垂心为其直角顶点B(1,0),则△ABC的欧拉线方程为y-130-13=x-131-13,整理得y=-12x+12.因为直线l与欧拉线垂直,所以-aa-3=2,解得a=2,故l的方程为y=2x+1,联立y=-12x+12,y=2x+1,解得x=-15,y=35,即交点为-15,35.故选B.3.A　设坐标原点为O,则△ABC的面积为12·AB·OC=1,易知直线y=kx+b(k>0)与x轴的交点为-bk,0,设为M.由直线y=kx+b(k>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,故-bk<0,故点M在射线OA上(不含点O).设直线y=kx+b和BC的交点为N,易知直线BC的方程为x+y=1,联立y=kx+b,x+y=1,得x=1-bk+1,y=k+bk+1,即N1-bk+1,k+bk+1.①若点M和点A重合(如图1),则点N为线段BC的中点,故N12,12,把A、N两点的坐标代入直线y=kx+b,得k=b=13.图1 图2②若点M在点O和点A之间(如图2),则b>13,点N在点B和点C之间由题意可得△NMB的面积为12,故12·MB·yN=12,即 12×1+bk·k+bk+1=12,可得k=b21-2b>0,得b<12,故13k.图3设直线y=kx+b和AC的交点为P,易知直线AC的方程为y=x+1,联立y=kx+b,y=x+1,得x=1-bk-1,y=k-bk-1,即点P1-bk-1,k-bk-1,由题意可得△CPN的面积为12,即12·(1-b)·|xN-xP|=12,即12(1-b)·1-bk+1-1-bk-1=12,化简可得2(1-b)2=|k2-1|.由于此时13>b>k>0,∴2(1-b)2=|k2-1|=1-k2.两边开方可得2(1-b)=1-k2<1,∴1-b<12,化简可得b>1-22,故有1-22MN=3,故这种情况不存在.综上,若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3,B正确.对于C,设点M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),则n-1m+1=1,m-12+n+12+2=0,解得m=-3,n=-1,即M'(-3,-1),故PM+PN=PM'+PN≥M'N=(-3-2)2+(-1-1)2=29,当且仅当M',P,N三点共线(P在M',N之间)时取得等号,故PM+PN的值最小为29,C正确.对于D,|PM-PN|≤MN=3,当且仅当P为NM的延长线与l的交点时等号成立,即|PM-PN|的值最大为3,D正确.故选BCD.5.答案　338003解析　以AF所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系,娱乐健身区域为矩形PNMQ.由tan∠AFE=tan∠BCD=-34,得tan∠OFE=34,则OEOF=34,又EF=50,所以OE=30,OF=40,所以E(0,30),F(40,0),D(0,110),C(40,140),A(120,0),B(120,140),故直线EF的方程为y=-34x+30,直线CD的方程为y=34x+110.设Pa,-34a+30,其中0≤a≤40,则Qa,34a+110,N120,-34a+30,则PQ=32a+80,PN=120-a,所以四边形PNMQ的面积S=PQ·PN=32a+80(120-a)=-32a-10032+338003,0≤a≤40.当a=1003时,S取得最大值,最大值为338003.6.答案　58+2解析　由题意得l1∥l2,则l1与l2间的距离为2,即PQ=2,过B作直线l垂直于l1,如图,则直线l的方程为y=-x+4,将B沿着直线l向上平移2个单位到点B',有B'(3,1),连接AB',交直线l1于点P,连接BQ,有BB'∥PQ,BB'=PQ,即四边形BB'PQ为平行四边形,则PB'=BQ,即有AP+QB=AP+PB'=AB',因此AP+QB的最小值,即AP+PB'的最小值,为AB',而AB'=(-4-3)2+(4-1)2=58,所以AP+PQ+QB的最小值为AB'+PQ=58+2.7.解析　(1)设直线l的方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3,即2λ2-5λ+2=0,所以λ=12或λ=2.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)设直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为P,由2x+y-5=0,x-2y=0,解得x=2,y=1,故P(2,1),如图,过P任作直线l,设d为点A到直线l的距离,则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=PA=(5-2)2+(0-1)2=10.知识拓展　直线系方程:具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合叫直线系,它的方程叫直线系方程.几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0.(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.8.解析　(1)显然直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-3),则A3-4k,0,B(0,4-3k),于是S△AOB=123-4k·(4-3k)=24,所以k=-43,所以直线l的斜率为-43.(2)由(1)知直线l的方程为y-4=-43(x-3),即4x+3y-24=0,B(0,8),因为S△APQ=13S四边形OQPB,所以S△APQ=14S△ABO,又PQ∥OB,所以△APQ∽△ABO,于是有PQ2BO2=S△APQS△ABO=14,即PQBO=12,得PQ=4,此时点P为线段AB的中点,所以S△APQ=13S四边形OQPB时,点P为线段AB的中点,且PQ=4.(3)假定在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,由(2)知直线l的方程为4x+3y-24=0,如图,设Q(t,0),00,n>0).由题意得|3a-2b|13=13,|a+2b|5=5,所以a=-2,b=72或a=-92,b=-14(舍去),即P-2,72.因为P为MN的中点,所以-2m+n=-4,m+32n=7,解得m=134,n=52,所以M-132,134,故d=OM=-1322+1342=1354,所以当d=1354时,P为队列MN的中点.(2)由(1)结合M,N,P三点共线,得m-72-2m-(-2)=32n-72n-(-2),即5m+132n=4mn,即5n+132m=4,OM=(-2m)2+m2=5m,ON=n2+32n2=132n.所以S△OMN=12×OM×5+12×ON×13=52m+134n=1452m+134n5n+132m=658+1425m2n+169n8m≥658+14×225m2n·169n8m=654,当且仅当25m2n=169n8m,5n+132m=4,即m=134,n=52时,等号成立,所以观赏效果最好时△OMN的面积为654.素养评析　本题第(1)问,要求学生能够在熟悉的数学情境中,根据问题的特点找到解题思路,即建立坐标系,求出直线方程,利用相关公式解决问题,考查了学生的数学运算素养;第(2)问,要求学生能够在熟悉的情境中将原问题进行转化,即将三点共线转化为斜率相等,并能够选择合适的数学模型(基本不等式模型)解决,考查了学生的数学建模素养.