2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题31 圆的基本性质【二十个题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc4572" 【题型1 圆的周长与面积相关计算】 PAGEREF _Tc4572 \h 1
\l "_Tc12234" 【题型2 圆中的角度、线段长度计算】 PAGEREF _Tc12234 \h 3
\l "_Tc12261" 【题型3 求一点到圆上一点的距离最值】 PAGEREF _Tc12261 \h 5
\l "_Tc2769" 【题型4 利用垂径定理结合全等、相似综合求解】 PAGEREF _Tc2769 \h 6
\l "_Tc28031" 【题型5 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 PAGEREF _Tc28031 \h 7
\l "_Tc7059" 【题型6 垂径定理在格点中的应用】 PAGEREF _Tc7059 \h 8
\l "_Tc15794" 【题型7 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc15794 \h 10
\l "_Tc1585" 【题型8 利用垂径定理求取值范围】 PAGEREF _Tc1585 \h 12
\l "_Tc17488" 【题型9 利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】 PAGEREF _Tc17488 \h 13
\l "_Tc5769" 【题型10 利用弧、弦、圆心角关系比较大小】 PAGEREF _Tc5769 \h 14
\l "_Tc16334" 【题型11 利用弧、弦、圆心角关系求最值】 PAGEREF _Tc16334 \h 15
\l "_Tc21283" 【题型12 利用弧、弦、圆心角关系证明】 PAGEREF _Tc21283 \h 16
\l "_Tc24297" 【题型13 利用圆周角定理求解】 PAGEREF _Tc24297 \h 18
\l "_Tc20659" 【题型14 利用圆内接四边形求角度】 PAGEREF _Tc20659 \h 19
\l "_Tc18611" 【题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题】 PAGEREF _Tc18611 \h 21
\l "_Tc4746" 【题型16 利用圆的有关性质解决最值问题】 PAGEREF _Tc4746 \h 22
\l "_Tc4529" 【题型17 利用圆的有关性质求取值范围】 PAGEREF _Tc4529 \h 24
\l "_Tc26535" 【题型18 利用圆的有关性质解决多结论问题】 PAGEREF _Tc26535 \h 25
\l "_Tc28462" 【题型19 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距】 PAGEREF _Tc28462 \h 27
\l "_Tc29008" 【题型20 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc29008 \h 28
【知识点 圆的基本性质】
1.圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
3.弧.弦.圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等
4.圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 圆的周长与面积相关计算】
【例1】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（ ）

A．40000πB．1600πC．64000πD．160000π
【变式1-1】（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．

【变式1-2】（2023·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
【变式1-3】（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．22+1633πB．20+1633πC．22+1433πD．20+1433π
【题型2 圆中的角度、线段长度计算】
【例2】（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则DE=（ ）．

A．2B．455C．655D．855
【变式2-1】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在⊙O中，C是AB上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA=DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（ ）

A．∠C=13∠AOCB．∠C=12∠AOCC．∠C=23∠AOCD．∠C=34∠AOC
【变式2-2】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）

A．403B．8C．245D．6
【变式2-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于12OP长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交⊙O于点A，连接PA交MN于点B，连接OA、OB．若∠P=26°，则∠AOB的大小为（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【题型3 求一点到圆上一点的距离最值】
【例3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
【变式3-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E为AC边上的任意一点，把△BCE沿BE折叠，得到△BFE，连接AF．若BC=6,AC=8，则AF的最小值为 ．
【变式3-2】（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A2,1到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．

【变式3-3】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，正方形CDEF的边长为1，将正方形CDEF绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接AG，则线段AG的取值范围是 ．

【题型4 利用垂径定理结合全等、相似综合求解】
【例4】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．

(1)求证： AEAF=CFBF；
(2)若tan∠CAB= 43，求sin∠CAP的值；
(3)连接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=2 3，求△PCF的面积．
【变式4-1】（2023·江苏泰州·二模）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AB=CD．

(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．
【变式4-2】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．
【变式4-3】（2023·云南德宏·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AC=CF，连接FB，FD，FD交AB于点N．

(1)若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；
(2)连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON⋅OP=OE⋅OM．
【题型5 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例5】（2023·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是4,5，则弦BC的长度为 ．
【变式5-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 34 x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．

(1)求⊙M的半径；
(2)点C为弧OA上的一点，且满足∠COA=∠CBO，求C点坐标．
(3)直线y=x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
【变式5-2】（2023·湖北黄冈·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a) a>3，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是 ．
【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．

(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 垂径定理在格点中的应用】
【例6】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．

（1）AM= ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式6-1】（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，并简要说明画图方法（不要求证明）
【变式6-2】（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则弧AE的长为（ ）

A．3π4B．π2C．5π8D．134π
【变式6-3】（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【题型7 垂径定理的实际应用】
【例7】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414，3≈1.732）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
【变式7-1】（2023·北京西城·统考一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径 m.
【变式7-2】（2023·宁夏中卫·统考二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标O0，0，A0，10，B20，0，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里）

(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东45°，同时在监测点O测得C位于南偏东60°，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
【变式7-3】（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
【题型8 利用垂径定理求取值范围】
【例8】（2023·浙江宁波·一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为BD上一点，CF与AB交于点G，若FG>CG，则BF的长的范围为( )

A．4