2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题16 二次函数的应用【十大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc27990" 【题型1 方案选择问题】 PAGEREF _Tc27990 \h 1
\l "_Tc6585" 【题型2 拱桥问题】 PAGEREF _Tc6585 \h 7
\l "_Tc4514" 【题型3 隧道问题】 PAGEREF _Tc4514 \h 12
\l "_Tc18717" 【题型4 喷泉问题】 PAGEREF _Tc18717 \h 18
\l "_Tc16823" 【题型5 球类飞行轨迹问题】 PAGEREF _Tc16823 \h 24
\l "_Tc17594" 【题型6 空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc17594 \h 29
\l "_Tc22377" 【题型7 最大利润问题】 PAGEREF _Tc22377 \h 35
\l "_Tc26022" 【题型8 图形运动问题】 PAGEREF _Tc26022 \h 41
\l "_Tc23492" 【题型9 图形面积问题】 PAGEREF _Tc23492 \h 55
\l "_Tc31708" 【题型10 现实生活问题】 PAGEREF _Tc31708 \h 60
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 方案选择问题】
【例1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m50≤m≤150只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，根据“用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=-2m-302+13800，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，
根据题意得20000x+20=8000x×2，
解得x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100，
答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w=[2(130-m)-100]m+120-80300-m=-2m2+120m+12000，
整理得w=-2m-302+13800，
∵-28，
∴方案3的菜园面积最大，
∴在三种方案中，最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20-12m2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
【答案】(1)y1=0.4x，y2=0.2x+0.3；
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y1=0.4x，
在直角坐标系中描出以x,y坐标的对应点，易得y2的图象成一条直线，
设y2=kx+b，则3k+b=0.94k+b=1.1，
解得k=0.2b=0.3，
∴y2=0.2x+0.3．
（2）当y1=y2，则0.4x=0.2x+0.3，
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.220-12m2+0.3，
即w=-0.1m2+0.4m+4.3 =-0.1m-22+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．
【变式1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m00.5，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
【题型3 隧道问题】
【例3】（2023·山东·统考中考真题）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=-16x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是43m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C3,172在抛物线上
所以c=4172=-16×9+3b+c，
解得b=2c=4，
∴y=-16x2+2x+4，
∴当x=-b2a=6时，y=10
∴抛物线解析式为y=-16x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时，y=223>6，
所以可以通过；
（3）令y=8，即-16x2+2x+4=8，可得x2-12x+24=0，解得x1=6+23，x2=6-23
x1-x2=43
答：两排灯的水平距离最小是43m
【变式3-1】（2023·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【答案】(1)y=-925(x-5)2+9
(2)A(5-533,6),B(5+533,6)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9，
将(0,0)代入，得0=a(0-5)2+9．解之，得a=-925．
∴抛物线的函数表达式为y=-925(x-5)2+9．
（2）令y=6，得-925(x-5)2+9=6．
解之，得x1=533+5,x2=-533+5．
∴A(5-533,6),B(5+533,6)．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【变式3-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】(1)y=-16(x-6)2+10
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+10,，把点B的坐标代入即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为x=6+1+4，代入（1）所得解析式，判断是否大于6.5即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点D的坐标为D(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
解得：a=-16，
即所求抛物线的解析式为：y=-16(x-6)2+10；
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：x=6+2÷2+4=11时，
y=-16(11-6)2+10=356