2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题41 概率【十二大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc7236" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc7236 \h 2
\l "_Tc250" 【题型2 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc250 \h 4
\l "_Tc31650" 【题型3 由概率求数量】 PAGEREF _Tc31650 \h 6
\l "_Tc30716" 【题型4 列举法求概率】 PAGEREF _Tc30716 \h 8
\l "_Tc18920" 【题型5 画树状图法/列表法求概率】 PAGEREF _Tc18920 \h 11
\l "_Tc7018" 【题型6 几何概率】 PAGEREF _Tc7018 \h 15
\l "_Tc15496" 【题型7 由频率估计概率】 PAGEREF _Tc15496 \h 18
\l "_Tc5618" 【题型8 放回实验概率计算方法】 PAGEREF _Tc5618 \h 21
\l "_Tc6739" 【题型9 不放回实验概率计算方法】 PAGEREF _Tc6739 \h 24
\l "_Tc18046" 【题型10 游戏公平性】 PAGEREF _Tc18046 \h 27
\l "_Tc5256" 【题型11 概率的实际应用】 PAGEREF _Tc5256 \h 31
\l "_Tc30589" 【题型12 概率与统计综合】 PAGEREF _Tc30589 \h 35
【知识点 概率】
1.随机事件
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.概率
(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。
(2)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率。
3.列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
4.树状图法求概率
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
5.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023·广东中山·二模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·二模）下列事件中属于不可能事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3
B．13个人中有两个人生日在同一个月份
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小逐项判断即可．
【详解】解：A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意；
B．13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意；
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意；
D．两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2024·山西朔州·一模）如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷得的点数和为5B．掷得的点数和为9
C．掷得的点数和大于15D．掷得的点数和小于13
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、掷得的点数和为5是随机事件，故此选项不符合题意；
B、掷得的点数和为9是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷得的点数和大于15是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、掷得的点数和小于13是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（17-18七年级下·江西萍乡·期末）某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
A．能中奖一次B．能中奖两次
C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定
【答案】D
【分析】由于中奖概率为13，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.
故选D．
【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：
①P(A)=0，为不可能事件；
②P(A)=1为必然事件；
③00，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象限，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果
∵当a>0，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象限
∴满足条件的结果有4种
故函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是：416=14
故答案为：14
【点睛】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值．熟记相关结论即可．
【题型9 不放回实验概率计算方法】
【例9】（2023·河南周口·模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（ ）
A．16B．19C．29D．13
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将三枚邮票分别记作A、B、C，根据题意列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的有2种结果，
所以妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率为26=13，
故选：D．
【变式9-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（ ）
A．13B．16C．25D．14
【答案】B
【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，画树状图得出所有等可能的结果数以及三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种，
∴三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是16，
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023·河南南阳·一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
【答案】16
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是212=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
【变式9-3】（2023·广东梅州·一模）一个不透明的箱子里装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色不同外其他都相同，则从箱子中先后不放回摸出两个球，则摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为 ．
【答案】35/0.6
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，
∴摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为1220=35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
【题型10 游戏公平性】
【例10】（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）

A．公平B．对甲有利C．对乙有利D．公平性不可预测
【答案】A
【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．
【详解】列表如下：

总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：4÷8=12；
指针指向的数的和为非正数的概率为：4÷8=12；
∵12=12，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式10-1】（2023·河南·三模）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 ．(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【详解】列树状图得：
共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是59，那么弟弟赢的概率是49，所以该游戏对双方不公平．
点睛：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【变式10-2】（2023·湖北咸宁·模拟预测）桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，甲组扑克牌是红桃2，红桃3和黑桃4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7，
(1)洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上的数作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是 ；
(2)黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两张牌花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法说明
【答案】(1)23
(2)该游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）先用列表法求得所有结果数以及两位数是偶数的结果数，然后运用概率公式求解即可；
（2）先用列表法求得所有结果数以及花色相同、花色不同的结果数，然后运用概率公式分别求出概率，然后比较即可解答．
【详解】（1）解：根据题意列表如下：
由表可得共有9种结果数，两位数是偶数的结果数有6个，故组成的两位数是偶数的概率是69=23．
故答案为23．
（2）解：该游戏不公平，理由如下：
根据题意列表如下：
由表可得共有9种结果数，花色相同的结果数有4个，花色不同的结果数有5个，故黄震胜的概率是49，程祥获胜的概率是59；由于4912>14，
∴乙在游戏2中最容易取胜，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法和概率公式是解题的关键．
【题型11 概率的实际应用】
【例11】（2023·广东二模）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）．
【答案】出海
【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．
【详解】解：∵预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，60%>40%，
∴下月是好天气的可能性>坏天气的可能性；
又∵若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，
出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）:5000×60%-2000×40%=2200（元)，
不出海：-1000×60%+(-1000×40%)=-1000（元)，
2200>-1000，
∴船队队长作出决策为：出海．
故答案为：出海．
【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．
【变式11-1】（2023·山西·一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】(1)59
(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种，
∴P(一红区和一蓝区)= 59
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
∴P(两个红区)= 29，P(两个蓝区)= 29，
∴方案二的平均收益为：29×18+59×9+29×18=13，
∵13