2025年中考数学一轮复习精品讲义第14讲 二次函数的应用（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc155187731" \l "_Tc155125913" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc155187732" 题型01 最大利润/销量问题
\l "_Tc155187733" 题型02 方案选择问题
\l "_Tc155187734" 题型03 拱桥问题
\l "_Tc155187735" 题型04 隧道问题
\l "_Tc155187736" 题型05 空中跳跃轨迹问题
\l "_Tc155187737" 题型06 球类飞行轨迹
\l "_Tc155187738" 题型07 喷泉问题
\l "_Tc155187739" 题型08 图形问题
\l "_Tc155187740" 题型09 图形运动问题
\l "_Tc155187741" 题型10 二次函数综合问题
\l "_Tc155187742" 类型一 线段、周长问题
\l "_Tc155187743" 类型二 面积周长问题
\l "_Tc155187744" 类型三 角度问题
\l "_Tc155187745" 类型四 特殊三角形问题
\l "_Tc155187746" 类型五 特殊四边形问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
题型01 最大利润/销量问题
【例1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第x天总销量y1（千克）与x的关系如图1所示，且y1是x的二次函数．乙商品从开始销售至销售第x天的总销量y2kg，y2=ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2．
(1)分别求出y1，y2与x的函数关系；
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
【变式1-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【变式1-2】（2023·安徽六安·校考二模）某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示：
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为t=-x2+50x-100（5≤x≤20，且x为整数）．
(1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最大值为多少？
(2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．
题型02 方案选择问题
【例2】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（00，△PAQ的面积为S(cm2)．

(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
【变式9-3】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．

(1)求证：△AMN∽△ABC；
(2)当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
(3)把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
题型10 二次函数综合问题
类型一 线段、周长问题
【例10】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+12-4a经过点D-2,3，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得△BCE的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接AC，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线AC的距离相等，求点P的坐标．
【变式10-1】（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-3,0,B1,0，与y轴交于点C．

(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【变式10-2】（2023·广东潮州·一模）如图，直线y=-2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，且A-1，0．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．
(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛物线上，求M点坐标．
【变式10-3】（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线y=14x+h2+k．点A-1,2在抛物线的对称轴上，B0,54是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
(1)直接写出h，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为3,m，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
类型二 面积周长问题
【例11】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中OA=2，b-c=-4．

(1)求B，C的坐标；
(2)如图②，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD，BC，BD，OD交BC于点E，当S△DBES△OBE的值最大时，求此时点D的坐标及S△DBES△OBE的最大值．
【变式11-1】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O(0,0)和点A(4,0)，它的对称轴交抛物线于点B．C,D两点在对称轴上（点C在D的上方），且关于点B对称，直线OD交抛物线于点E，连接OC,CE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），若△OCE的面积为212，求点D的坐标；
(3)如图（2），若∠OEC=90°，求点D的坐标．
【变式11-2】（2022·福建南平·统考一模）已知抛物线y=x2-2ax+a2+2a-3，直线l:y=x+a．
(1)记抛物线的顶点为N(p,q)，求q关于p的函数关系式；
(2)设直线l与抛物线相交于点A,B，在点A,B之间的抛物线上有一动点P．求△PAB的面积的最大值．
类型三 角度问题
【例12】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线L:y=-23x2+bx+c与y轴的交点为C0,2，与x轴的交点分别为A3,0、B(点A在点B右侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线沿x轴向左平移mm>0个单位，所得的拋物线与x轴的左交点为M，与y轴的交点为N，若∠NMO=∠CAO，求m的值.
【变式12-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【变式12-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-4,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点D的坐标为(-8,0)，连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当∠OCP=∠DCA时，求点P的坐标．
类型四 特殊三角形问题
【例13】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知经过原点O的抛物线y=-x2+4x与x轴的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点B是OA的中点，点N是y轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使得△OMN与△OBM全等，且点B与点N为对应点，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五 特殊四边形问题
【例14】（2022·河南南阳·统考一模）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=t交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形．
①当t=3时，求菱形DPEQ的面积；
②当点E落在△ABC内部（不含边上）时，直接写出t的取值范围．
【变式14-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=-1，且与y轴的交点坐标为(0,-1)，直线l与x轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形APBC为正方形时，求m的值．
【变式14-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．

(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点要求
新课标要求
命题预测
二次函数的应用
能用二次函数解决实际问题
二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。
第x天
1
2
3
4
售价y/（元/个）
30
32
34
36
销量t/个
100
120
140
160
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
水平距离x（米）
5
10
20
30
空中飞行的高度y（米）
4.5
6
0
-18
水平距离x/m
0
0.4
1
1.4
2
2.4
2.8
竖直高度y/m
0
0.48
0.9
0.98
0.8
0.48
0
x/dm
…
18
14
38
12
58
34
78
1
98
54
…
y/dm3
…
1.3
2.2
2.7
3.0
2.8
2.5
1.5
0.9
…