2025年中考数学一轮复习精品讲义第01讲 实数（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159614298" PAGEREF _Tc159614298 \h 2
\l "_Tc159614299" 考点一 实数的分类（高频考点） PAGEREF _Tc159614299 \h 2
\l "_Tc159614300" 题型01 实数的分类 PAGEREF _Tc159614300 \h 3
\l "_Tc159614301" 题型02 无理数估值 PAGEREF _Tc159614301 \h 5
\l "_Tc159614302" 题型03 相反意义的量 PAGEREF _Tc159614302 \h 6
\l "_Tc159614303" 考点二 实数的相关概念（高频考点） PAGEREF _Tc159614303 \h 7
\l "_Tc159614304" 题型01 用数轴上的点表示数 PAGEREF _Tc159614304 \h 8
\l "_Tc159614305" 题型02 求数轴上两点之间的距离 PAGEREF _Tc159614305 \h 10
\l "_Tc159614306" 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 PAGEREF _Tc159614306 \h 11
\l "_Tc159614307" 题型04 数轴上的动点问题 PAGEREF _Tc159614307 \h 13
\l "_Tc159614308" 题型05 求一个数的相反数 PAGEREF _Tc159614308 \h 17
\l "_Tc159614309" 题型06 多重符号化简 PAGEREF _Tc159614309 \h 18
\l "_Tc159614310" 题型07 相反数的应用 PAGEREF _Tc159614310 \h 19
\l "_Tc159614311" 题型08 求一个数的绝对值 PAGEREF _Tc159614311 \h 20
\l "_Tc159614312" 题型09 化简绝对值 PAGEREF _Tc159614312 \h 21
\l "_Tc159614313" 题型10 绝对值非负性的应用 PAGEREF _Tc159614313 \h 24
\l "_Tc159614314" 题型11 利用几何意义化简绝对值 PAGEREF _Tc159614314 \h 26
\l "_Tc159614315" 题型12 乘方运算 PAGEREF _Tc159614315 \h 29
\l "_Tc159614316" 题型13 乘方的应用 PAGEREF _Tc159614316 \h 30
\l "_Tc159614317" 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） PAGEREF _Tc159614317 \h 32
\l "_Tc159614318" 题型01 用科学记数法表示数 PAGEREF _Tc159614318 \h 33
\l "_Tc159614319" 题型02 求一个数的近似数 PAGEREF _Tc159614319 \h 34
\l "_Tc159614320" 考点四 实数比较大小 PAGEREF _Tc159614320 \h 35
\l "_Tc159614321" 题型01 利用数轴法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614321 \h 36
\l "_Tc159614322" 题型02利用类比法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614322 \h 36
\l "_Tc159614323" 题型03 利用作差法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614323 \h 37
\l "_Tc159614324" 题型04 利用作商法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614324 \h 40
\l "_Tc159614325" 题型05 利用平方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614325 \h 41
\l "_Tc159614326" 题型06 利用其它方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614326 \h 42
\l "_Tc159614327" 考点五 平方根、算术平方根、立方根 PAGEREF _Tc159614327 \h 43
\l "_Tc159614328" 题型01 求一个数的算术平方根 PAGEREF _Tc159614328 \h 44
\l "_Tc159614329" 题型02 利用算术平方根的非负性解题 PAGEREF _Tc159614329 \h 45
\l "_Tc159614330" 题型03 求一个数的平方根 PAGEREF _Tc159614330 \h 46
\l "_Tc159614331" 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 PAGEREF _Tc159614331 \h 47
\l "_Tc159614332" 题型05 求一个数的立方根 PAGEREF _Tc159614332 \h 47
\l "_Tc159614333" 考点六 实数的运算（高频考点） PAGEREF _Tc159614333 \h 48
\l "_Tc159614334" 题型01 实数的运算 PAGEREF _Tc159614334 \h 50
考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：53100 QUOTE b-3100 b-3100）、1.333333…（分数形式：43）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223???C．D．2
【答案】A
【提示】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、38=2，是有理数，则此项符合题意；
B、3.232232223???是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、2是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．0
【答案】B
【提示】根据小于0的数即为负数解答可得．
【详解】-2023是负数，2023和12023是正数，0既不是正数也不是负数
故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键．
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在-2,12,3,2中，是无理数的是（ ）
A．-2B．12C．3D．2
【答案】C
【提示】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，12，2是有理数，3是无理数，
故选： C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，，38=2中，有理数是38=2，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．3B．2.1C．0D．-2
【答案】A
【提示】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，-2不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据无理数的估算可得答案．
【详解】解：∵，，而，，
∴大小在3与4之间的是，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【答案】B
【提示】由于4＜6＜9，于是，从而有．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
【答案】3
【提示】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．-5元B．0元C．+5元D．+10元
【答案】A
【提示】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作+5元，可知支出5元记作-5元；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【提示】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．
【详解】解：平均温度零上，记作+126°C，夜间平均温度零下，应记作，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：2、35 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等.
具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【提示】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是-1，所以比-1大3的数是-1+3=2；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．-12023
【答案】B
【提示】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，
∴OB=2023，
∴点B表示的数是-2023，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【答案】B
【提示】根据OB=2OA，点B表示的数是6，先求解OA, 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，
OB=2OA，

在原点的左侧，
表示的数为-3,
故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键．
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数7的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
【答案】B
【提示】根据先估算7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵4