2025年中考数学二轮培优重难点题型分类练习专题03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式（2份，原卷版+解析版）

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通用的解题思路：
求一次函数解析式：①老方法：已知两个点的坐标，一令，二代：将两个点的坐标代入，计算出，三作答；②压轴题中的新方法，用求k公式来先求出k，再代入一个点来求出b，当求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。
求二次函数解析式：①一般式：，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式；
②顶点式：，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式；
③一般式：，告诉二次函数与x轴的两交点时，优先选用交点式。
1．（长沙中考）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；
（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．
【详解】解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为（0，1）；
将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，得n=1．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．
（2）将y=2x﹣4代入到y=中有，2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，
∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，
由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣．
∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．
（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．
抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣，），
设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（﹣，）在y=px+k上，
∴=﹣p+k，解得：p=．∴“带线”l的解析式为y=x+k．
令∴“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，解得：x=﹣．
即“带线”l与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，k）．
∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|，∵≤k≤2，∴≤≤2，
∴S=，
当=1时，S有最大值，最大值为；当=2时，S有最小值，最小值为．
故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤．
2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ）
设y=x+b，则 ，解得 ，则 ，
（2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），(2-x，-y)在C1上，则，C2:，
②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1），
AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，｜2a-2｜=16，解得a= 或- ，
（3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，
抛物线:，令 ，得x1=1，x2=-1，
则抛物线经过（1， ），（-2， ） ，令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，
点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上，由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，
故P为(1，1)或(-2，7)．
3.（青竹湖）定义：将点P关于原点对称的点绕原点顺时针旋转后得到的点称为P的反转点，连接
形成的直线称为反转线，当直线与函数L的图象有交点时的反转线称为完美直线，它们的交点Q叫完
美点.
（1）已知函数L的觝析式为，点P的坐标为，试求出点P变换后得到的反转线；
（2）已知函数L的解析式为，点P为x轴上异于原点的一点，经过变换后可以得到完美直线，且完美点Q与原点间的距离为，求这条完美直线的解析式；
（3）已知P为直线上一动点，函数L的解析式为，点P经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点，，当时，求点P横坐标的取值范围.
【解答】解：（1）∵点P的坐标为（5，0），关于原点的对称点坐标是（﹣5，0），∴点P的反转点P′的坐标是（0，5），设反转线的解析式是y＝kx+b，把P（5，0），P′（0，5）代入y＝kx+b，得，
∴，∴点P变换后得到的反转线的解析式是y＝﹣x+5．
（2）设P（m，0）（m≠0）则它的反转点P′（0，m），∴直线PP′的解析式是y＝﹣x+m，
解方程组得，∴点Q的坐标是（，），
∴+＝OQ2＝＝40，∴m＝4或m＝﹣4，
∴完美直线的解析式是y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4．
（3）∵P是直线y＝3x上的一点，∴设P（n，3n）（n≠0），∴P′的坐标是（﹣3n，n），
设完美直线PP′的解析式是y＝ux+v，把P（n，3n），P′（﹣3n，n）代入得，
∴，∴PP′的解析式是y＝x+n，由得x2+2x﹣2﹣5n＝0，
∵P经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点Q1，Q2，∴Δ＝22﹣4×（﹣2﹣5n）＝12+20n＞0，∴n＞﹣，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2﹣5n，y1﹣y2＝（x1﹣x2），
∴Q1Q2＝＝＝，
∴Q1Q2＝＝，∵≤Q1Q2≤2，∴≤≤2，∴﹣≤n≤，∴点P横坐标的取值范围是﹣≤n≤．
4.（博才）规定：我们把直线叫做抛物线的“温暖直线”.若该直线与该抛物线的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线l与抛物线L具备“温暖而幸福关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”.
（1）已知直线是抛物线的“温暖直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；
（2）已知直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线的最小值是，求直线l的解析式；
（3）已知直线是抛物线L的“温暖直线”.将抛物线L进行左右平移得到新抛物线，抛物线满足：对于抛物线上的任意两点，，若，则始终成立.抛物线与直线l相交于，B两点，若以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求a的值.
【解答】解：（1）∵直线l：y＝ax﹣4是抛物线L：y＝2x2+bx的“温暖直线”，∴a＝2，b＝﹣4，
∴直线l：y＝2x﹣4，抛物线L：y＝2x2﹣4x，由2x﹣4＝2x2﹣4x，得：x＝1或x＝2，∴“幸福点”的坐标为（1，﹣2），（2，0）；
（2）∵直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”，∴方程ax+b＝ax2+bx，即ax2+（b﹣a）x﹣b＝0无解或有两个相等的实数根，∴（b﹣a）2+4ab＝（a+b）2≤0，∴b＝﹣a，∴直线l：y＝ax﹣a，抛物线L：y＝ax2﹣ax＝a（x﹣）2﹣a，当a＞0时，抛物线开口向上，∴当0≤x＜时，y随x的增大而减小，当＜x≤2时，y随x的增大而增大，∴﹣a＝﹣6，解得：a＝24，∴b＝﹣24，∴直线l的解析式为y＝24x﹣24；
当a＜0时，抛物线开口向下，∴当0≤x＜时，y随x的增大而增大，当＜x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y最小值＝4a﹣2a＝﹣6，解得：a＝﹣3，∴b＝3，∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3；
∴直线l的解析式为y＝24x﹣24或y＝﹣3x+3；
（3）∵（x1﹣）（x2﹣）＞0，则y1≠y2始终成立，∴x＝是L1的对称轴，∵y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，平移后变为y＝a（x﹣）2﹣，将点A（1，1）代入y＝a（x﹣）2﹣，
∴a﹣＝1①，∵A（1，1）在直线y＝ax+b上，∴a+b＝1②，由①②解得
设B（c，d），联立方程组，∴ax2﹣6ax+a﹣b﹣＝0，∴6＝1+c，∴c＝5，
∴d＝5a+b，∵A（1，1），B（5，5a+b），∴AB的中点（3，），AB＝＝，∵以AB为直径的圆恰好与x轴相切，∴＝，
∴5a+b＝4，∵5a+b＝a（5﹣）2﹣，∴a﹣＝4②，联立①②得a＝．
5.（2022•庐阳区三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），故答案为：（1，3）．
（2）将（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣7x+3，
∴抛物线y＝x2﹣7x+3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），∴，解得，∴点B坐标为（﹣1，2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，
∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，
∴c＝2时，n＝1为最大值，把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，把c＝3代入n＝c﹣得n＝，
∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．
6．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，∵顶点在x轴上，∴4c＝b2，∴一次函数为y＝x+b，
∵“基点”P的横坐标为1，∴P（1，1+b），∵点P与点Q关于y轴对称，∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函数为y＝，∴﹣b2＝1+b，解得b＝﹣2，∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，∵经过点（2，6），∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，∴a＞2﹣a＞0，∴1＜a＜2，设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），
∴﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，∴方程有两个不同的实数根，∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝＝，∵1＜a＜2，∴2＜＜4，∴2＜|x1﹣x2|＜2．
8．定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．
【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为
y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，
∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；
（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，
解得：m＝±（不合题意，舍去）；
③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．
9.（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），
ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），
∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；
ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，
∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；
设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；
当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；
综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．
10．（立信）关于x的方程（）两根分别为x1和x2，若一个根是另一个根的两倍，则称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线l与抛物线C相交于A、B两点，其中一点的横坐标等于另一点横坐标的2倍，则称这样的直线l与抛物线C互为“立信二倍函数”.
（1）若是“立信二倍根方程”，求的值；
（2）直线：与抛物线互为“立信二倍函数”求抛物线的解析式；
（3）直线：与抛物线：（）互为“立信二倍函数”，若直线与抛物线相交于，、，两点，且，求的取值范围．
【解答】解：（1），，当时，即，解得：，
当时，即，解得：，故或-4；
（2）由题意得：，整理得：，则，，
①当，解得：，抛物线解析式为.
①当，解得：，抛物线解析式为
（3），整理得：，
，，设：，整理得：，，
，，则，
，即，即，即．