2025年中考数学一轮复习讲练测课件第27讲 与圆有关的位置关系（含解析）

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1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
3. 圆和圆之间的位置关系设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解．2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上.3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧．
题型01 判断点和圆的位置关系
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
题型03 判断直线与圆的位置关系
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
【例7】（2020·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．
题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数
【例8】（2020·广东·统考一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
题型09 圆和圆的位置关系
题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
【例1】（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
题型02 利用切线的性质求线段长
题型03 利用切线的性质求角度
题型04 证明某条直线时圆的切线 类型一 由公共点：连半径，证垂直
题型04 证明某条直线时圆的切线 类型二 无公共点：作垂直， 证半径
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与圆B相切；
题型05 利用切线的性质定理证明
题型06 切线的性质与判定的综合运用
【详解】（1）证明：连接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
题型08 应用切线长定理求解
【例9】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　）A．38°B．28°C．30°D．40°
题型09 应用切线长定理求证
1. 三角形内切圆与外接圆
2. 三角形内心与外心
1. 一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形.2. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.3. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.
题型01 判断三角形外接圆圆心位置
题型03 已知外心的位置判断三角形形状
题型04 求特殊三角形外接圆的半径
题型05 由三角形的内切圆求长度
【例5】（2023·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ）A．6B．7C．8D．9
题型06 由三角形的内切圆求角度
【例6】（2018·湖南邵阳·校联考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）A．56°B．62°C．68°D．78°
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选：C．
题型07 由三角形的内切圆求周长、面积
题型08 求三角形的内切圆半径
题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
题型10 圆外切四边形模型
【例10】（2021上·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
题型11 三角形内心有关的应用
【例11】（2018·河北唐山·校联考一模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点
题型12 三角形外接圆与内切圆综合
【例12】（2022·山东枣庄·校考一模）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ）A．60°B．65C．70°D．75°