浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合B，再求出两集合的并集即可．
【详解】由，，
得.
故选：D.
2. 要建造一个容积为，深为6m的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元，池底的造价为135元，问水池总造价最低时，水池的长a与宽b分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】设水池的长为am，宽为m，总造价为z元；从而可得，，结合基本不等式求最值即得.
【详解】设水池的长为am，宽为m；总造价为z元；则，故；
.
当且仅当，时等号成立.
故选：A.
3. 若，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在0,+∞上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为在R上为减函数，故，即，
又在0,+∞上为增函数，故，即，故.
故选：C.
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】先由题意求出的定义域，进而可求的定义域.
【解答】因为函数的定义域为，
由，可得，即的定义域为，
对于函数，需使，解得，
故的定义域为.
故选：B
5. “”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.
【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：
“”为假则其否定形式“”为真命题，
显然当时符合题意，
当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解之得，
综上可得.
故选：B
6. “幂函数在单调递减”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【详解】若为幂函数，则，解得或，
因当时，在上单调递减，符合题意；
当时，在上单调递增，不合题意.
故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立，
即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件．
故选：B.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求得，代入计算，即可得.
【详解】由题意，得，
则，
注意到
则.
故选：C
8. 若的最大值为，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，得当时，恒成立，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】当时，，
因为减函数，在递减，在递增，
则当时，在递增，在递减，
故当时，，
则当时，恒成立，
则当时，恒成立，
又当时，，
则当时，；
当时，，
且当时，；当时，
则当时，，故m的取值范围为
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 若，则在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 在定义域内单调递减
D. 若在R上单调递增，则a的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由单调性的定义可得A错误；由二次函数的性质可得B正确；由单调函数的规定可得C错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D错误；
【详解】对于A、不符合任意性，故A错误；
对于B、，在递增，故B正确；
对于C、在和递减，不能说在定义域内单调递减，故C错误；
对于D、由题意，得，解得，故D错误；
故选：ACD.
10. 已知 ，，则下列结论正确的是（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为1D. 的最小值为4
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，B，直接利用基本不等式即可求解；对于C，由题设等式可得，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D，代入消元后根据基本不等式即可判断.
【详解】对于A，由，可得，
即得，因，解得，
故，当且仅当时等号成立，
由，可得，
故当且仅当，时，ab取得最大值为，故A正确；
对于B，因
，当且仅当时等号成立，
令，代入上式，可得，即，解得，
故当且仅当，时，取得最小值为，故B错误；
对于C，由，可得，由，可得，
故.
令，则得，函数在上单调递增，
故，即C错误；
对于D，，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为4，故D正确.
故选：AD.
11. 存在函数满足对任意的都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，令与即可判断；对于B，配方、换元即可判断；对于C，换元，根据函数单调性及函数的定义即可判断；对于D，换元即可判断.
【详解】对于A，令，可得；
令，可得，矛盾，故A错误；
对于B，，
所以.
令，则，
所以，
所以，故B正确；
对于C，设，，则，
是增函数，x与m一一对应，
又也是增函数，m与t也是一一对应，
与t为一一对应，同时符合函数定义，故C正确；
对于D，令，则，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用对数、指数运算性质即可求解.
【详解】原式
故答案为：3
13. ，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论去绝对值，求解即可.
【详解】当时，，
由，可得，解得，故x不存；
当时，，
由，可得，解得，故；
当时，，
由，可得，解得，故，
综上，，
故答案为：.
14. 已知a，b，，，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解.
【详解】①，
当且仅当时取等号，
，
即②，当且仅当时，即，时取等号，
将②式代入①式得，
当且仅当，，时取等号.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若，，求；
（2）设命题，命题，若命题q是命题p的必要不充分条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式求出集合B，然后依据集合的运算求出结果即可；
（2）根据已知命题q是命题p的必要不充分条件可得集合关系，进而求出结果
【小问1详解】
；
当时，
.
【小问2详解】
由题意得,
则即,得.
故a的取值范围是.
16. 已知是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3），解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义域为R的奇函数，当时，，可求时的解析式；
（2）结合函数单调性进行求解即可；
（3）等价于又在R上单调递增，所以，即，然后解不等式即可.
【小问1详解】
当时，.
当时，，，
所以.
【小问2详解】
由题意得当时，单调递增且，，
∴fx在上单调递增，又为奇函数，
∴fx在R上单调递增，.
即的解集为1,+∞.
【小问3详解】
等价于.
又在R上单调递增，
，即.
①当时，，解得，
原不等式解集为；
②当时，原不等式可化为，解得，
原不等式解集为.
③当时，原不等式可化为，
时，即时，原不等式解集为；
时，即时，原不等式解集为；
时，即时，原不等式解集为；
17. 温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类（男生1000米/女生800米）为必考项目.现一体重为50kg的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段.假设小明稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力.假定小明可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位s），请回答下列问题：
（1）写出小明剩余体力Q关于时间t的函数；
（2）小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少；
（3）小明在三分整时，恰好跑完840米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在3分40前跑完一千米？
【答案】（1）
（2）第120秒时，体力为最小值300kJ
（3）不能
【解析】
【分析】（1）分类讨论当时，当时，得到解析式；
（2）当时，为一次函数且单调递减，当时，结合基本不等式求解；
（3）当时，此时要使在三分四十前到达，需要，求解即可.
【小问1详解】
当时，.
当时，.
综上.
【小问2详解】
当时，为一次函数且单调递减，
此过程，
当时，，
当且仅当，即时取“=”.
由于，第120秒时，体力最小值为300kJ
【小问3详解】
当时，此时.
冲刺时，体力消耗量为
，
要使在三分四十前到达，需要，，所以小明不能在3分40前跑完一千米.
18. 已知是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）若的定义域为R，判断的单调性并证明；
（3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得，求m的取值范围.
【答案】（1），或，
（2）在R上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据奇函数的定义求解即可；
（2）利用作差法来证明函数的单调性；
（3）先记时，的值域为A，时，的值域为B，然后得出，再求出，得到，，对m进行分类讨论即可求出m的取值范围.
【小问1详解】
由题意得或不存在，
①当时，，，，
又，即，，
经检验为奇函数，
，满足条件；
②当不存在时，，，
又，即，，
经检验为奇函数，
，满足条件；
【小问2详解】
定义域为R，，
任取，，，
，
在R上单调递增；
【小问3详解】
记时，的值域为A，时，的值域为B，由题意得，
令，则，
，
又，
，
①当时，不符合题意，
②当，，，
即，，
③当时，不成立，
综上所述：m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由集合间的包含关系对进行分类讨论.
19. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，证明A不可能具有性质；
（3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值.
【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析
（2）证明见解析 （3）455个.
【解析】
【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将集合中的元素分为10个集合，进行求解即可；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，然后求出集合A中共有455个元素，即可.
【小问1详解】
，不具有性质.
，，，具有性质；
【小问2详解】
将集合中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，.
所以从集合中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，不可能具有性质；
【小问3详解】
先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为，，，，，，7个集合，
①，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，；选6则不选2，；选7则不选3，；则只剩4，.故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
②，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，…，11中属于集合A元素个数不超过5个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，…11中属于集合A的元素个数不超过5个.
③，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为，
则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个.
给出如下选取方法：从1，2，…，11中选取1，4，6，7，；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.
此时集合A的元素为：1，4，6，7，；，15，17，18，；，26，28，29，；；，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单.