河南省周口市西华县三校2025届高三上学期联考一模数学试题

这是一份河南省周口市西华县三校2025届高三上学期联考一模数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）．
A．①、②都正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①、②都不正确
2．设函数，则（ ）
A．2B．6C．8D．10
3．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5B．C．D．
4．已知，复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，已知圆柱的底面半径为4，高为3，是上底面的直径，点在下底面的圆周上，则面积的最大值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
7．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
10．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知F是双曲线的左焦点，P是E右支上一点，PF与E的渐近线分别交于A，B两点，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
14．已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是 ．
15．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率取值范围为 .
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是 .
三、解答题
17．设全集，求，， .
18．已知函数.
(1)求f（x）的最小正周期和在的单调递增区间；
(2)已知，先化简后计算求值：
19．已知向量.令.
(1)化简；
(2)当时，求方程的解集；
(3)已知集合，D是函数和定义域的交集且，判断元素与集合P的关系，并说明理由.
20．计算求值：
(1)；
(2)已知，均为锐角，，，求的值．
21．如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为．
（1）找出与的函数关系；
（2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值．
参考答案：
1．C
【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.
【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点.
，
所以表示到直线和的距离之和不大于4的点.
如图：

易知直线和垂直，
则，.
当时，.
因为，所以.
因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），
因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；
当时，存在使得，故②正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件.
2．B
【分析】根据分段函数的解析式，分别求出函数值即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】先求出圆心到渐近线的距离为，再解方程即得解.
【详解】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为
,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，
即
双曲线的离心率为.
故选：D
4．A
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得选项.
【详解】，
复数的共轭复数在复平面内对应的点是，在第一象限.
故选：A.
5．A
【分析】首先求出直线，直线的方程，即可求出交点的坐标，从而得到点坐标，依题意可得点在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程，即可得解.
【详解】设椭圆的焦距为，
则直线，直线，
联立，解得，即，
因为，故．
因为，所以点在椭圆上，
将代入椭圆的方程得，即，
即，解得或（舍去）.
故选：A
6．D
【分析】求解本题的关键是根据圆柱的结构特征，将的面积用CD表示，将问题转化为求线段的最值问题.
【详解】如图，过作轴截面，可知四边形为矩形，过点C作，交EF于点G，过点G作，交AB于点D，连接CD，因为，，，所以平面，因为面，因此，又，所以，
由圆柱的底面半径为4，可得：，所以，
因为四边形为圆柱的轴截面，所以AF⊥底面CEF，因为底面CEF，所以AF⊥，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以（的长小于等于半径），等号成立的条件是刚好为半径，所以，
故选：D.
7．A
【分析】求得圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求得球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
依题意，解得，所以.
设球的半径为，则，
.
所以球的表面积为.
故选：A
8．D
【分析】先把化简，再判断其对应的点在第几象限.
【详解】∵，
∴它在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
9．C
【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．
【详解】解：是定义在上的偶函数，
不等式恒成立等价为恒成立，
当时，．
不等式等价为恒成立，
即在，上恒成立，
平方得，
即在，上恒成立，
设，
则满足，
，
即，
，
故实数的最大值是．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于难题．
10．C
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.
【详解】由题意得，
，
由于为上的单调增函数，故，
故，
故选：C
11．B
【分析】设点，由可表示出，点的坐标，因为P是E右支上一点，带入椭圆得方程化简即可得出答案.
【详解】不妨设点，，由，可得为的中点，
所以，由，解得．
因为，则得
因为P是E右支上一点，则，
则，故E的离心率为．
故选：B.
12．D
【分析】设为三角形的中心，取中点，连接，根据正四面体的性质得到平面，且，即为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】如图，在正四面体中，设为三角形的中心，取中点，连接，
由正四面体的性质可知平面，且，则即为直线与平面所成的角，
因为，则，
故，故，
由勾股定理得，
故，
即直线与平面所成角的正弦值为．
故选：D．
13．
【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，
所以180°，则，利用余弦定理得，
，解得，所以．
由，得，
因为，所以，
．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
14．
【分析】切化弦后根据两角和正弦公式再化简，由正弦定理余弦定理结合均值不等式求出最小值即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
由正弦定理得：．
由余弦定理得：，又由得：，
所以，
（当且仅当，即△为正三角形时，取“”），
因为，所以的最大值为．
故答案为：
15．
【分析】由，可得，由余弦定理，设，利用函数单调性求取值范围即可.
【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，
因为，由椭圆的定义可得，
所以.
又因为，，
中由余弦定理可得：.
化简得，
由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增，所以，
所以，可得，
所以椭圆的离心率取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
16．
【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可.
【详解】如图所示：
设，，因为点在第一象限，所以.
又因为均在以线段为直径的圆上，
所以四边形为矩形，即.
因为，所以，即.
因为，，
所以，即.
因为，
设，，即，.
因为，所以在区间单调递增.
所以，即.
当时，解得，即，解得；
当时，解得，即，即.
综上.
故答案为：
17．，，，
【分析】根据集合的交并补计算求解即可.
【详解】依题意，，，
又，故，
又，故.
18．(1)
(2)1
【分析】（1）通过辅助角公式化简可得，即可求得函数的周期和单调区间，令即可得出结果；
（2）由（1）及已知条件计算可得，化简可得
【详解】（1）
，即，
所以最小正周期为,
当，时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为，
所以f（x）在的单调递增区间.
（2）
已知，，即，
，所以，解得：.
所以
19．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，代入整理可得；（2）根据题意可得，整理得，结合正弦函数求解；（3）根据题意整理可得，结合题意讨论分析．
【详解】（1）由题意可得：，
∴
（2）当时，则，解得
∴或
方程的解集为
（3）∵，则
与的共同定义域为
∴
当，即时，，则
当，即时，，则
20．(1)
(2)
【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.
（2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可.
【详解】（1）
（2）∵、都为锐角，∴，
又，
∴，
，
∴
.
21．（1）（2）当且仅当，即时，最大，且最大值为2.
【分析】（1）四边形的面积可以看成是和的面积之和．因为，则，根据三角形的面积公式即可得出；
（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：，根据，得时，最大，且最大值为．
【详解】（1）
（2）由（1）知
，
因为，所以
故当且仅当，即时，最大，且最大值为2．
考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
A
D
A
D
C
C
题号
11
12








答案
B
D