2023年河南省周口市沈丘县中英文学校等五校联考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省周口市沈丘县中英文学校等五校联考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市沈丘县中英文学校等五校联考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（　　）
A．2022 B． C． D．
2．乐乐用4个相同大小的小立方体搭成了一个几何体，并画出了这个几何体的俯视图，乐乐搭成的几何体的主视图不可能是（　　）

A． B． C． D．
3．“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为 的正方形中，，连接，，， 分别是，的中点，连接，则的长为（　　）

A． B． C． D．
5．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米．
A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷
6．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
7．任意一张正方形先对折再翻折然后加上废旧的草杆就能做成一个简易的纸风车，迎着风就会哗啦啦转动起来，小小的纸风车带来童年满满的回忆．如图是彤彤折叠的一个纸风车，风车由四个全等的直角三角形组成，其中∠DOG 为90°．延长直角三角形的斜边，恰好交于四个直角三角形的斜边中点，若，那么这个风车的面积为（　　）

A． B． C． D．
8．对实数，定义新运算“”如下： ，如  ，若的两根为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）
  
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，在中从左向右依次作正方形，，…，，点在轴上，点在轴上，点在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为，则可表示为(　　)

A． B． C． D．

二、填空题
11．已知|x|=2，|y|=5，且xy＞0，则x+y的值为 ．
12．空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．

13．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
14．“莱洛三角形”是机械学家、数学家莱洛首先发现的，在现代机械上得到了广泛的应用．分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是“莱洛三角形”，如图②，若等边三角形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．

15．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，交于，则的长为 ．


三、解答题
16．（1）计算：
（2）已知 ，求的值．
17．作为一个农业和食品大省，河南省几乎承包了中国人餐桌上的主食，例如大家耳熟能详的“三全食品”“思念食品”“白象食品”“湾仔码头”都是来自河南的品牌．某校九年级的学生组织了一次“河南面食知多少”的知识竞赛活动，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优异、优秀、良好和达标四个等级分别进行统计，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．下面是根据数据绘制的不完整的统计图．
  
(1)本次调查的学生人数是 人，良好的人数所占圆心角的度数为 ．
(2)抽取的样本的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．
(3)若抽取的样本中有4名1班的同学A、B、C、D，其中两名同学成绩为100分，一名同学成绩为80分，一名同学成绩为70分．若从A、B、C、D中任意选择两人去参加年级的知识竞赛，恰好抽到两个得100分的同学的概率是多少?先画树状图再计算．
18．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A 的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
  
(1)若点是点 的“倒数点”，求这个函数的解析式．
(2)若的值为，的取值大于，点是点的倒数点，点在矩形 的一边上，则求点的坐标．
19．今年9月，受台风“梅花”影响，附近海域作业的渔船纷纷进港躲避台风，当地海洋渔业部门利用北斗卫星定位系统，紧急召回正在作业的船只．如图所示，渔业部门通过北斗卫星定位系统发现渔船C位于“梅花”正东处，于是通知渔船C即刻返回港口D．而台风“梅花”的中心B在港口D的正西方向正以每小时35公里的速度向东移动，渔船C位于海上观察点A 北偏西方向上，港口D位于海上观测点A 的正北方向上，台风中心B位于海上观测点A 北偏西方向上．若渔船C与观测点A 相距350公里，台风“梅花”中心的影响半径为200公里，渔船的速度为18公里/时．请问该渔船能否顺利返港躲过台风? （，，，）

20．田间直播带货、助农团购、山货上头条……在数字化的当今，各种农产品也乘着新媒体的东风，展开了更广阔的销售天地，数字文化产品成为了助农新力量．通过观看直播带货，水果经销商小林发现了几家高品质果园并与几家果园达成了销售协议，从这几处果园购进橙子和草莓．下表是这两种水果的进价和售价：

进价（元/斤）
售价（元/斤）
橙子
a
6
草莓
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
8.5
小林购进 斤橙子和斤的草莓需要元，购进斤的橙子和斤的草莓需要元．
(1)求，的值；
(2)某短时间小林每天购进两种水果 斤并在当天销售完．其中销售橙子不少于斤不超过斤，设每天销售橙子斤．（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获（元）与的函数关系式，并写出的取值范围；
②腊月二十三，小林让利销售，将橙子每斤降低元（），草莓售价全部定为元斤，若这一天小林销售水果获得最小利润元，求的值．
21．放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节．潍坊风筝节上放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝．如图所示，水母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点 建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连续的几个水母头部．若最左侧的抛物线可以用表示．抛物线上、两点到纸的最底端距离均为，到纸的左侧的距离分别为．

(1)求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；
(2)如果这张纸长为，渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案?
22．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．

(1)求证：BD=CD；
(2)判断△BDE的形状，并说明理由；
(3)若AB=10，BC=8，求BD的长．
23．综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】

如图①，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合）且，以 和 为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 ．
【迁移探究】
（2）如图③，当时，天天先将矩形绕点A 顺时针旋转，再连接，则CN与之间的数量关系是 ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，求线段的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数，互为相反数．
2．D
【分析】根据俯视图和小立方体的个数确定其主视图的可能情况即可确定答案．
【详解】解：根据俯视图知该几何体底层有2个小立方体，
∴不可能为D，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型．
3．D
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】解：根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
4．B
【分析】连接并延长交于M，连接，先证，得出，得是的中位线，则，然后用勾股定理求出即可得解．
【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示，
正方形的边长为，，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，是的中点，
是的中位线，
．
故选：B．

【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质与定理、添加适当的辅助线构造相似三角形是解答此题的关键．
5．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：依题意，．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
6．C
【分析】根据合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；    
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】连接由题意可得，进而说明为等腰直角三角形，再说明垂直平分、垂直平分，进而说明，然后再运用解直角三角形求得，然后再求得三角形的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接
由题意可得：

，
为等腰直角三角形
又 ：
，
，即
又
垂直平分
同理：垂直平分
是等腰三角形顶角的角平分线
即
由题意可得
又，
，
在中，，
，
设，即
，
，
设（），，
，即，
，
又，
，
，
．
故选A．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．
8．C
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：，
，
解得：，，
∵，
∴根据题中的新定义得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．A
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
10．D
【分析】利用每个小正方形的边都与坐标轴平行，，可得到每组小正方形的边长都是该组直角三角形的两直角边之差，利用的坐标探索边长的规律，进而求面积．
【详解】解：直线的关系式为：
，，，，
，
每个小正方形的边都与坐标轴平行，
，
每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，
每组小正方形的边长都是该组直角三角形两直角边之差，
正方形中，设点，
，
将点代入直线，
，，
正方形中阴影正方形边长为：，
阴影部分面积；
正方形中，设点，
，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积；
正方形中，设点，
，，
正方形中阴影正方形边长；
阴影部分面积；
以此推理，第个阴影正方形的边长为；
阴影部分面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数点坐标的特点，求正切；能够利用点的坐标探索边长的关系是解题的关键．
11．±7
【分析】先由绝对值的性质得到x与y的值，然后再由xy＞0得出x、y同号，从而得出x+y．
【详解】解：∵|x|=2，|y|=5，
∴x=±2，y=±5，
又xy＞0，
所以当x=-2时，y=-5，此时x+y=-7；
当x=2时，y=5，此时x+y=7．
所以x+y=±7，
故答案为：±7．
【点睛】本题考查了有理数的加法和乘法和绝对值的意义，关键是不能忘记每种可能性，要考虑周全．
12．/度
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，

，，
，
又，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
13．
【分析】先根据关于x的一元一次不等式组的解集为，求得的范围，再根据分式方程有正整数解，求得的范围，综合即可求得的范围，再求整数和即可．
【详解】解：关于的一元一次不等式组
解的，
解集为．
．
．
关于的分式方程，
解得：，
有正整数数解，且．
∴，
∴或或或或，
∴或或或或，但，
∴符合条件的所有整数为：、、．
符合条件的所有整数的和为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．关于参数考查不等式，参数分式方程的知识，一般先将参数看成已知，解出不等式的解集或分式方程的解，然后利用数轴进行分析，或者已知条件分析从而，找到参数的取值范围．
14．
【分析】设等边的中心为点O，连接，过点O作于点D，根据锐角三角函数的定义，求出，的长，从而求出，进而可得，根据扇形的面积公式，得，进而可得，然后即可得到答案．
【详解】解：设等边的中心为点O，连接，过点O作于点D，
则
∵，
∴，
∵在中，，即：，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积是．
故答案是：．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，解直角三角形，扇形的面积公式，添加合适的辅助线，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
15．/
【分析】过点作的延长线的垂线于点，证明，，根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可求解．
【详解】过点作的延长线的垂线于点，

是等边三角形，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
同理可证，，
，
，

故答案为:.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（1）1；（2）
【分析】（1）先运算算术平方根，乘方，然后运算除法，最后减法解题即可
（2）由得，代入式子化简解题即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）解：由 得，
把代入得：
原式

．
【点睛】本题考查实数的混合运算和分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
17．(1)50，
(2)90，100，91.2
(3)画树状图见解析；恰好抽到两个得100分的同学的概率是

【分析】（1）根据优异等级的人数及其所占比例可求得本次调查的学生人数，再用乘良好等级所占比例即可求解；
（2）根据中位数、众数、平均数的概念即可求解；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到两个得100分的同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数是（人），
良好的人数所占圆心角的度数为，
故答案为：50，；
（2）解：抽取的样本的中位数为位于第25、26位的数，都是90，
∴中位数为（分），
优秀的人数为（人），
100分的人数有20人，人数最多，
∴众数为100，
平均数为（分），
故答案为：90，100，；
（3）解：不妨设A、B两名同学成绩为100分，C同学成绩为80分，D同学成绩为70分．
画树状图如下：
  
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到两个得100分的同学的结果数有2种，
所以恰好抽到两个得100分的同学的概率．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体以及采用树状图法或者列表法求解概率等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
18．(1)反比例函数的解析式为
(2)点的坐标为，或，

【分析】（1）设，则，，根据新定义得出方程组，解方程组即可求解．
（2）设点的坐标为，由“倒数点”的定义，得点坐标为，，分析出点在某个反比例函数上，分两种情况：①点在上，由轴，得，解出，舍去)，得点纵坐标为1，求出点坐标；②点在上，得点横坐标为2，即，求出点坐标．
【详解】（1）解：矩形的顶点为，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
∴设，则，
∵点是点 的“倒数点”，
∴
解得：或(舍去)
∴反比例数解析式为
（2）解：设点的坐标为，
点是点的“倒数点”，
点坐标为，，
点的横纵坐标满足，
点在某个反比例函数上，点在矩形 的一边上，
点不可能在，上，
分两种情况：
①点在上，
由轴，
点、点的纵坐标相等，即，
舍去，
点横坐标为：，
点纵坐标为：，
坐标为，；
②点在上，
点横坐标为，即，
点纵坐标为：，
点坐标为，；
综上所述：点的坐标为，或，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
19．该渔船能顺利返港躲过台风
【分析】在中，解直角三角形求得和的长，在中，求得的长，再分别求得台风和渔船到达港口的时间，比较即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
在中，，
（公里），
（公里），
在中，，
（公里），
所以台风到达港口D的时间为（小时），
渔船到达港口D的时间为（小时），
∵，
∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C后面200公里时所需时间是解题的关键．
20．(1)，
(2)①；②的值为

【分析】（1）根据题意：购进斤橙子和斤草莓的总费用等于元，购进斤橙子和斤草莓的总费用等于元．再列方程组，解方程组即可；
（2）①由题意可得：求解 再分两种情况讨论：当时，当时，再分别写出函数关系式即可；②设每天销售橙子斤，则草莓购进斤，则利润： 再根据一次函数的性质得到：当时，的最小值为元，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意得： ，即
解得：
答：的值分别为：
（2）解：①设每天销售橙子斤，则草莓购进斤，且
则
当时，即时，

当时，即时，

综上：
②设每天销售橙子斤，则草莓购进斤，则利润：


则随的增大而减少，
当时，的最小值为元，

解得：
答：的值为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用及一次函数的性质，熟练的运用一次函数的性质求解函数的最值，再建立方程是解本题的关键.
21．(1)第一个抛物线的函数关系式为，图案最高点到纸的最底端距离为
(2)渺渺最多可以连续绘制个水母头部的图案

【分析】（）根据题意求得，，，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（）令，即，解方程得到，，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意得：，，，，
把，代入
得，
解得：，
拋物线的函数关系式为；
图案最高点到地面的距离；
（2）令，即，
，，
，
最多可以连续绘制个水母头部的图案．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
(3)

【分析】（1）由分别平分得，再得出，最后可得；
（2）由为的直径，得到，从而可得
再由平分，平分，可得，，得到，从而证得结论；
（3）连接交于点，由得出，，由勾股定理求得OH的长，从而可得，最后由勾股定理求得BD的长．
【详解】（1）证明：∵分别平分
∴
∴
∴；
（2）解：为等腰直角三角形．
∵为的直径，
∴
∴
∵平分，平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
（3）连接交于点，

∵
∴，
在中，
∴
在中，
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．
23．（1），；（2）；（3）线段的长为或
【分析】（1）当时，，，则，所以，再证明，，三点在同一条直线上，由勾股定理得，，所以，于是得到问题的答案；
（2）先证明，得，，则
，，即可证明，再根据勾股定理求得，则
，所以；
（3）分两种情况，一是，，三点共线，且点在线段上，由勾股定理求得，则；二是，，三点共线，且点在线段的延长线上，由勾股定理求得，则．
【详解】解：（1）当时，，，
，
，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，，
，
，，三点在同一条直线上，
，，
，，
，
故答案为：，；
（2）发生变化，，
理由：如图3，连接，当时，则，，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3），，
，，，，
如图4，，，三点共线，且点在线段上，

，
，
，
如图5，，，三点共线，且点在线段的延长线上，

，
，

综上所述，线段的长是或．
【点睛】本题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论思想的运用等知识与方法，本题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题关键．