2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲函数的单调性与最大(小)值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲函数的单调性与最大(小)值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了若函数为幂函数，且在单调递减，已知函数.，是奇函数.，对于区间，若函数同时满足等内容，欢迎下载使用。
A．B．
C．或D．
二、多选题
9．（2024·全国·高一专题练习）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
10．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
三、填空题
11．（2024上·广东茂名·高一高州市第四中学校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 .
12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ．
四、解答题
13．（2024上·天津·高一校联考期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且，
（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．
14．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数.
(1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值；
(2)若为偶函数，求实数的值；
(3)若在上是减函数，求实数的取值范围.
15．（2024上·陕西安康·高一校考期末）已知函数（为常数）是奇函数.
(1)求的值与函数的定义域；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
B能力提升
1．（2024下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ．
5．（2024上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
6．（2024上·云南·高一统考期末）若不等式对任意恒成立，则的取值范围为 ．
C综合素养
7．（2024上·江西抚州·高一统考期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．
(1)求函数的所有“保值”区间．
(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．
8．（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值.
第02讲 函数的单调性与最大（小）值(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．
【详解】，因为，所以在上为增函数，故A错误；
在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误；
，所以在上为减函数，故C正确；
，所以在上为增函数，故D错误；
故选：C．
2．（2024上·四川凉山·高一统考期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得.
【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：D
3．（2024上·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）记函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以=.
故选：D.
【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断，考查了利用函数单调性求函数最值，属于基础题.
4．（2024上·浙江金华·高一统考期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得.
【详解】令函数，显然在上单调递减，，
因为任意，不等式恒成立，于是，
所以.
故选：A
5．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）已知函数 ，则满足的 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式．
【详解】由已知，∴是偶函数，
又时，是增函数，
所以不等式化为，则，解得，
故选：C．
6．（2024上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式.
【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增，
所以，
即，，得，
解得：
所以不等式的解集为.
故选：C
7．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
故选：D
8．（2024下·全国·高二专题练习）若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·高一专题练习）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.
【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
10．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】结合函数单调性求得的最小值，由题意可推出，故得到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案.
【详解】由题意时，，即；
而，
故在上单调递减， 在上单调递增，
所以，
由于对任意，存在，使，
过，即，
结合选项，故实数的取值可以是，
故选：ABC
三、填空题
11．（2024上·广东茂名·高一高州市第四中学校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.
【详解】的定义域为，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由参变量分离法可知，在有解，则，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】原不等式等价于在有解，则，
又因为函数在上单调递增，则，所以．
故答案为：.
四、解答题
13．（2024上·天津·高一校联考期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且，
（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．
【答案】(1)1
(2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ）
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍；
（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为1．
（2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下：
任取，则，
由可得：，，则，即，
故在区间单调递增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：
则，解得.
14．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数.
(1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值；
(2)若为偶函数，求实数的值；
(3)若在上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由求出的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值；
（2）根据偶函数的定义可求出的值；
（3）先求出的减区间，再根据在上是减函数，可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题可知，，即，
此时函数，
故当时，函数.
（2）若为偶函数，则有对任意，
都有，
即，故.
（3）函数的单调减区间是，
而在上是减函数，
，即，
故实数的取值范围为.
15．（2024上·陕西安康·高一校考期末）已知函数（为常数）是奇函数.
(1)求的值与函数的定义域；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，函数的定义域为
(2)
【分析】（1）根据求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义域；
（2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数，
所以，则，
即，所以，
即，解得，
当时，则令，解得，
即函数的定义域为，且，
所以为奇函数，符合题意，
当时函数无意义，故舍去；
综上可得，函数的定义域为.
（2）因为，则，
因为恒成立，
所以对任意的恒成立，
又在上单调递增，所以，
所以，即的取值范围是.
B能力提升
1．（2024下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数，定义域为R，满足，
得是奇函数，且在R上为减函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
2．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.
【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以
因为存在，满足，
则，
所以
解得：，
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意通过构造函数，说明其在上单调递减，对分类讨论即可得解.
【详解】由题意不妨设，
又对于任意且，都有，
即对于任意且，都有，即，
所以在上单调递减，
当时，则在上单调递减，满足题意；
当时，在上单调递减，此时对称轴为，
若，则，即，故满足题意；
若，则，即满足题意；
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
4．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】定义法证明为偶函数，结合对勾函数的性质可得在上单调递增，不等式等价于，即，求解即可.
【详解】因为的定义域为R，又，所以为偶函数．
设，当时，，则，
由对勾函数性质知，在上单调递增，
当，即，只需，可得；
综上，.
故答案为：
C综合素养
7．（2024上·江西抚州·高一统考期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．
(1)求函数的所有“保值”区间．
(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.
（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，
令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或，
当时，在区间上单调递增，则，即，
于是是方程，即的两个不同的非正实根，
显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；
当时，在区间上单调递减，则，即，则有，
所以函数的“保值”区间为.
（2）令，显然函数在上单调递增，
由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增，
则，即是方程，即的两个同号的不等根，
于是，解得，且，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
【点睛】关键点睛：根据新定义构造满足条件的方程（组），将新定义转化为熟悉的数学模型求解是解题的关键.
8．（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值.
【答案】(1)函数是“1距”增函数；理由见解析
(2)当时，；当时，
【分析】（1）根据题意，只需判断是否成立，即可求解；
（2）根据题意，当当时，恒成立，根据为增函数，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）解：函数是“1距”增函数.
理由如下：
由函数，
则
，
当时，可得，
所以，即，所以是“1距”增函数.
（2）解：由，，
因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立，
又因为为增函数，所以，
当时，，即恒成立，
所以，解得；
当时，，即恒成立，
所以，解得，
综上可得，，所以，
令，则，
①当时，即时，当时，；
②当时，即时，当时，，
综上可得，当时，；当时，.