2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲数列的概念与简单表示法(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲数列的概念与简单表示法(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。

二、多选题
9．（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ）
A．B．是递增数列
C．是等差数列D．
10．（24-25高二·上海·随堂练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为满足，则的通项公式为 ．
12．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知数列an满足，则 .
四、解答题
13．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的最大项的值.
14．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列an满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？
B能力提升
1．（23-24高二下·广东佛山）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（ ）

A．22B．30C．37D．46
2．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则 .
4．（23-24高二上·河北保定）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….
(1)写出和，并求出与之间的递推关系式；
(2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高二下·北京延庆·期中）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
第01讲 数列的概念与简单表示法 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【知识点】判断或写出数列中的项
【分析】根据题意，求出数列的前4项，从而求和.
【详解】根据题意，，
所以该数列的前4项和.
故选：A
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【知识点】数列周期性的应用
【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出.
【详解】在数列中，，则，
因此数列数列的周期为3，所以.
故选：D
3．（23-24高二下·江西·阶段练习）在数列中，，，则（ ）
A．8B．1C．18D．19
【答案】D
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果.
【详解】因为，，
所以，.
故选：D.
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用
【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得an是周期为的周期数列，从而可求得答案.
【详解】数列an满足，，
，
，
，
，
，
是周期为的周期数列，
而，
故．
故选：A
5．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，，且，则（ ）
A．－1B．2C．－2D．
【答案】A
【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】根据递推公式，可得数列an为周期为的数列，从而可解.
【详解】根据题意，，
则，
所以数列an为周期为的数列，
则.
故选：A
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．10B．55C．89D．99
【答案】C
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出.
【详解】依题意，（，），，，
所以.
故选：C
7．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ）
A．1420B．1480C．1520D．1580
【答案】B
【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式、等比数列的简单应用
【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可.
【详解】依题意，当时，，则，
于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，
则，即，
所以.
故选：B
8．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列an中，，则数列an的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】分组（并项）法求和、数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】列出数列的前几项，即可得到数列an是以为周期的周期数列，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为，，所以，
所以数列an是以为周期的周期数列，
又，，
所以.
故选：B
二、多选题
9．（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ）
A．B．是递增数列
C．是等差数列D．
【答案】ABD
【知识点】写出等比数列的通项公式、判断或写出数列中的项、判断数列的增减性、构造法求数列通项
【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断.
【详解】因为，则，
且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，
则，即.
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确；
对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以不是等差数列，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：ABD.
10．（24-25高二·上海·随堂练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【知识点】观察法求数列通项
【分析】根据选项，分为奇数和为偶数两种情况判定，即可求解.
【详解】对A：当为奇数时，，
当为偶数时，，故A正确；
对B：当为奇数时，，，
当为偶数时，，，故B正确；
对C：当为奇数时，，，
当为偶数时，，，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
11．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为满足，则的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据给定条件，利用的关系求出通项公式.
【详解】数列的前项和，当时，，
而不满足上式，
所以的通项公式为.
故答案为：
12．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知数列an满足，则 .
【答案】1
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】由题意可知数列an是周期为的数列，且每项的积为，由此即可求出结果.
【详解】依题意，，，所以，
所以数列是周期为的数列，且每项的积为，
又，所以.
故答案为：1.
四、解答题
13．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的最大项的值.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式可以求出an的通项公式，再结合等差数列的通项公式，通过解方程组求出bn的通项公式；
（2）利用作差比较法判断数列的单调性，再利用单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
设等差数列bn的公差为，
因为，，
所以，
即，.
（2）由上可知，.
所以令，
则有，
当时，，
即数列从第一项起一直增加到第10项，
当时，，
即数列从第10项开始递减，
因此为数列的最大项，，
所以数列的最大项的值为.
14．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列an满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？
【答案】能，.
【知识点】构造法求数列通项
【分析】通过计算，能归纳猜想出的通项公式，再利用取倒数法证明猜想.
【详解】因为，，
所以，，，
所以能猜想出的通项公式为．
证明如下：因为，
所以，
所以，
故选：B.
2．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
【答案】A
【知识点】根据规律填写数列中的某项
【分析】根据已知条件化简归纳通项公式即可求参.
【详解】,
,
,
依此类推得出,
所以,
所以.
故选：A.
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则 .
【答案】6
【知识点】数列的概念及辨析、数列新定义
【分析】根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果．
【详解】因为为弱值，则与上一次的强值3计算得为强值，
与上一次的弱值计算得为弱值，
与上一次的强值计算得为强值，
与上一次的弱值计算得，故.
故答案为：.
4．（23-24高二上·河北保定）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….
(1)写出和，并求出与之间的递推关系式；
(2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析，
【知识点】求递推关系式、等比数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）由已知可得和，仿写可得与之间的递推关系式；
（2）结合上问中的递推关系再证明即可，再由基本量法求出通项；
【详解】（1），，
，
（2）证明：
是以50为首项，为公比的等比数列.
，
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高二下·北京延庆·期中）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)64.
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义
【分析】（1）计算，，得到即可得出结果；（2）根据“速增数列”的概念得，，，，得出，又，，，即可得出答案.
【详解】（1）数列是“速增数列”.
数列对，，，
所以，
所以，数列为“速增数列”.
（2）因为数列an为“速增数列”，，，且.
所以，对，，，
所以，，，，.
相加得，，
即.
所以.
因为，，所以的最大值为64.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力、转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.