湖北省襄阳市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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二．填空题
11．x1＝－3，x2＝1；12． (3, －1) ；13． 1 ；14． 40 ；15．．
三．解答题
16．解： a＝3，b＝－6，c＝－2．…………………………………………………………………………2分
Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0．…………………………………………………………3分
方程有两个不相等的实数根
x＝…………………………………………………………………………………………4分
＝．………………………………………………………………5分
∴，．…………………………………………………………………………6分
17．证明：∵将△ABC以点C为旋转中心旋转180°得到△DEC，
∴∠BCE＝180°，∠B＝∠DEC，AB＝DE．………………………2分
∴AB∥DE．……………………………………………………………3分
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．………………………………………4分
∴AB＝EF．……………………………………………………………5分
∴DE＝EF．……………………………………………………………6分
18．解：设道路的宽度为x米．
根据题意，得(30－x) (20－x)＝551．……………………………………………………………………3分
解得，x1＝1，x2＝49（不合题意，舍去）．…………………………………………………………5分
答：道路的宽度为1米．………………………………………………………………………………6分
19．解：(1)当y＝0时，x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
所以A(1，0)，B(2，0) ．………………………………………………………………………………2分
当x＝0时，y＝x2－3x＋2＝2，
所以C(0，2)．…………………………………………………………………………………………4分
因为y＝x2－3x＋2＝(x－)2－，
所以D(，－)．……………………………………………………………………………………6分
(2)0＜m＜2．………………………………………………………………………………………………8分
20．解：(1)根据题意得，1－4(m＋1)＞0．………………………………………………………………2分
解得，m＜．…………………………………………………………………………………………4分
(2)由题意可知，x1＋x2＝1，x1x2＝m＋1．………………………………………………………………5分
所以1－(m＋1)＝m2－2．
解得m1＝－2，m2＝1．……………………………………………………………………………………7分
∵m＜，
∴m＝－2．………………………………………………………………………………………………8分
21．(1)证明：∵＝，
∴∠BAD＝∠ABC．……………………………………………………………………………………1分
∵AE＝EF，
∴∠F＝∠EAF．…………………………………………………………2分
∵∠F＋∠EAF＋∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠BAF＝∠EAF＋∠DAB＝90°．
∴AF⊥AB．………………………………………………………………3分
∵AB是⊙O的直径，
∴AF是⊙O的切线．……………………………………………………4分
(2) 解：∵＝，
∴AC＝BD＝4．…………………………………………………………5分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．…………………………………………………………6分
∴∠ACF＝90°．
∴CF＝．
∵∠BAD＝∠ABC，
∴AE＝BE．
设AB＝x，则BE＝EF＝x，CE＝x－2．
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴42+( x－2)2＝x2．
解得x＝5．………………………………………………………………7分
∴BF＝10．
∴AB＝．…………………………8分
22．解：(1)y＝－10x＋700．………………………………………………………………………………2分
W＝－10x2＋1000x－21000．…………………………………………………………………………4分
(2)根据题意，得－10x2＋1000x－21000＝3750，……………………………………………………5分
解这个方程，得x1＝45，x2＝55．……………………………………………………………………6分
答：销售单价应定为45元或55元． ………………………………………………………7分
(3) W＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000．………………………………………………9分
因为－10＜0，
所以当x＝50时，W取最大值为4000．
答：销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元． ………………………10分
图1
23．解：(1) 证明：在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠BCD＝∠ECG＝90°，BC＝CD，CE＝CG．……………………………2分
∴∠BCD＋∠DCG＝∠ECG＋∠DCG，
即∠BCG＝∠DCE．………………………………………………………3分
∴△BCG≌△DCE．………………………………………………………4分
(2) 如图2，作CP⊥DE于点P．
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
CD＝AB＝，CE＝CG＝EF＝．…………………………………5分
∴EG＝．
∴PC＝PE＝PG＝1．
∴PD＝．……………………………6分
∴DE＝PD＋PE＝4．

∵△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE＝4．……………………………………………………………7分
（3）OG＝AB．………………………………………………………8分
理由如下：连接BD．
在正方形ABCD正方形CEFG中，
∠A＝90°，∠CGE＝∠CEG＝∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD．
∴BD＝．……………………………………………9分
∵点O是AC的中点，
∴点O是BD的中点．
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CGB＝∠CEG＝45°．
∴∠BGE＝∠CGB＋∠CGE＝90°．………………………………………10分
∴∠BGD＝180°－∠BGE＝90°．
∴OG＝BD．
∴OG＝AB．……………………………………………………………11分
24．解：(1)根据题意得，………………………………………………………………2分
解得，
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．………………………………………………………………4分
(2) 因为x＝＝1．…………………………………………………5分
所以P，Q关于x＝1对称，
所以PQ＝2(m－1)．………………………………………………………6分
因为四边形AOPQ是平行四边形，
所以PQ＝OA＝1．
所以2(m－1)＝1．
解得m＝．
所以m的值为．………………………………………………………7分
（3）当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3．
由对称性可知，点C关于x＝1对称的点是D(2，3)．
①当点P在y轴左侧时，m＜0．
l＝2(PM＋CM)＝2[－m＋3－(－m2＋2m＋3)]＝2m2－6m．……………8分
当点P在直线CD上方时，0＜m＜2．
l＝2(PM＋CM)＝2(m－m2＋2m＋3－3)＝－2m2＋6m．…………………9分
当点P在y轴右侧CD下方时，m＞2．
l＝2(PM＋CM)＝2[m＋3－(－m2＋2m＋3)]＝2m2－2m．…………………10分
②4＜l＜．…………………………………………………………………12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
B
B
A
C
C
D