2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2
C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)
2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A. y=3x−1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2−2t+1D. y=x2+1x
3.已知抛物线y=ax2经过点(−2,−4)，则a的值是( )
A. −2B. 1C. −1D. 2
4.一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为( )
A. (x+4)2=17B. (x−4)2=17C. (x+4)2=15D. (x−4)2=15
5.关于x的方程x2−4x+m+2=0有一个根为−1，则另一个根为( )
A. 2B. −2C. 5D. −5
6.在函数y=x2−2x+a(a为常数)的图象上有三个点(−1,y1)，(−2,y2)，(1,y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y37.方程(2x+3)(x−1)=1的解的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根
8.受国际原油及其他因素影响，河南省四月底“95号”油价为9.05元/升，六月底“95号”油价为9.7元/升，设五月份和六月份“95号”油价的月平均增长率为x，则可列方程( )
A. 9.05(1+2x)=9.7B. 9.05(1+x2)=9.7
C. 9.05(1+x)2=9.7D. 9.05(1+x)=9.7
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是( )
A. b2<4ac
B. ac>0
C. 2a−b=0
D. a−b+c=0
10.如图一段抛物线：y=−x(x−3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P(22,m)在第8段抛物线C8上，则m的值为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______．
12.若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是______．
13.关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一根为0，则m=______．
14.二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式−x2+bx+c<0的解集为______．
15.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(3,1)，(6,−5)，若当3三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题16.0分)
解下列一元二次方程：
(1)x2−5x+1=0；
(2)3(x−2)2=x(x−2)；
(3)x2+2x=0；
(4)3x2−6x+2=0；
17.(本小题8.0分)
已知x=2是关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
(1)求m的值；
(2)求△ABC的周长．
18.(本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2的图象经过点A(12,−18)、B(3,m)．
(1)求a与m的值；
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小；
(4)当x取何值时，y有最大值(或最小值)．
19.(本小题8.0分)
关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
20.(本小题8.0分)
某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为16米，宽AB为6米，抛物线的最高处E距地面BC为10米．
(1)请根据题意建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式．
(2)若观景拱桥下放置两根长为7.5米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离．
21.(本小题8.0分)
在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ=______，PB=______(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题9.0分)
某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
(1)写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润；(用含x的代数式表示)
(2)若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
(3)当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为多少元？
23.(本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx与坐标轴交于O，B两点，直线y=kx−2与抛物线交于A，B两点，已知点B坐标为(2,0)．
(1)求二次函数和一次函数解析式；
(2)求出点A坐标，并结合图象直接写出不等式kx−2<−x2+bx的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、1x2+1x=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2−1是一元一次方程，故C错误；
D、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次函数的定义，可得答案．
本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，注意二次函数都是整式．
【解答】
解：A、y=3x−1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，故B错误；
C、s=2t2−2t+1是二次函数，故C正确；
D、y=x2+1x不是二次函数，故D错误；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：将点(−2,−4)代入y=ax2中，
得：−4=4a，
∴a=−1，
故选：C．
将点(−2,−4)代入y=ax2，运用待定系数法即可求出a的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及利用待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵x2−8x−1=0，
∴x2−8x=1，
∴x2−8x+16=1+16，即(x−4)2=17，
故选：B．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
5.【答案】C
【解析】解：设方程的另一个根为a，
根据题意得：−1+a=4，
解得：a=5．
故选：C．
设方程的另一个根为a，由根与系数的关系即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数y=x2−2x+a(a为常数)，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−22×1=1，
在函数y=x2−2x+a(a为常数)的图象上有三点(−1,y1)，(−2,y2)，(1,y3)，且|1−(−2)|<|1−(−1)|<|1−1|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3故选：A．
求得抛物线的开口方向和对称轴，则根据三点横坐标离对称轴越近，即可判断y1、y2、y3的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，将方程化为一般形式是解题的关键．将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式，即可做出判断．
【解答】
解：方程(2x+3)(x−1)=1可化为2x2+x−4=0，
∵△=1−4×2×(−4)=33>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：依题意得9.05(1+x)2=9.7，
故选：C．
利用河南省六月底“95号”油价=河南省四月底“95号”油价为×(1+五月份和六月份“95号”油价的月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，
∴A选项不正确；
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
∴B选项错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴−b=2a，
∴2a+b=0，故C选项错误；
∵抛物线过点A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴D选项正确．
故选：D．
根据抛物线与x轴有两个交点有b2−4ac>0可对A进行判断；
由抛物线开口向上得a>0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c<0，则可对B进行判断；
根据抛物线的对称轴为x=1可得−b2a=1，可得2a+b=0，则可对C选项进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，所以a−b+c=0，则可对D选项进行判断．
此题考查的是二次函数图像以及性质，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与x轴交点个数．Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】D
【解析】解：令y=0，则−x(x−3)=0，
解得x1=0，x2=3，
∴A1(3,0)，
由图可知，抛物线C8在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×7=21个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C8的解析式为y=(x−21)(x−21−3)=(x−21)(x−24)，
∵P(22,m)在第8段抛物线C8上，
∴m=(22−21)(22−24)=−2．
故选：D．
求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C8的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
11.【答案】y=x2(答案不唯一)
【解析】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式为y=x2(答案不唯一)，
故答案为y=x2(答案不唯一)．
根据形如y=ax2+c的二次函数的性质直接写出即可．
本题考查了二次函数的性质．
12.【答案】15
【解析】解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，
∴2a2−a=5，
∴6a2−3a
=3(2a2−a)
=3×5
=15．
故答案为：15．
直接把a的值代入得出2a2−a=5，进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
13.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一根为0，
∴x=0满足关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0，且m−1≠0，
∴m2−1=0，且m−1≠0，
∴m=−1．
故答案是−1．
14.【答案】x<−1或x>3
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>3．
故答案为：x<−1或x>3．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式(组)：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．
15.【答案】−23≤a≤23且a≠0
【解析】【分析】
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．
将点(3,1)，(6,−5)，代入二次函数表达式得：b=−9a−2c=18a+7，分a>0，a<0，两种情况讨论即可求解．
【解答】
解：将点(3,1)，(6,−5)，代入二次函数表达式得：1=9a+3b+c−5=36a+6b+c，
解得：b=−9a−2c=18a+7，
当a>0时，则函数对称轴在x=6的右侧，即x=−b2a≥6，即9a+22a≥6，解得：a≤23，
同理当a<0时，则函数对称轴在x=3的左侧，即x=−b2a≤3，即9a+22a≤3，解得：a≥−23，
故答案为−23≤a≤23且a≠0．
16.【答案】解：(1)x2−5x+1=0，
b2−4ac=(−5)2−4×1×1=21，
x=5± 212，
x1=5+ 212，x2=5− 212；
(2)3(x−2)2=x(x−2)，
3(x−2)2−x(x−2)=0，
(x−2)[3(x−2)−x]=0，
x−2=0，3(x−2)−x=0，
x1=2，x2=3；
(3)x2+2x=0，
x(x+2)=0，
x=0，x+2=0，
x1=0，x2=−2；
(4)3x2−6x+2=0，
b2−4ac=(−6)2−4×3×2=12，
x=6± 122×3，
x1=3+ 33，x2=3− 33．
【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
(1)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可；
(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(3)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(4)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．
17.【答案】解：(1)把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得4−2(m+4)+4m=0，
解得m=2；
(2)方程化为x2−6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，
∴△ABC的周长为4+4+2=10．
【解析】(1)把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得4−2(m+4)+4m=0，然后解关于m的方程即可；
(2)方程化为x2−6x+8=0，解方程得x1=2，x2=4，根据三角形三边的关系得到等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，然后计算△ABC的周长．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
18.【答案】解：(1)把点A(12,−18)坐标代入函数解析式得，14a=−18，
解得a=−12，
把点B(3,m)代入函数解析式得，m=−12×9=−92；
(2)点C(−3,−92)；
(3)x>0时，y随x的增大而减小；
(4)当x=0时，y有最大值为0．
【解析】(1)把点A的坐标代入函数解析式计算即可求出a，再把点B的坐标代入进行计算即可求出m；
(2)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
(3)根据二次函数的增减性解答；
(4)根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的对称性，熟记性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−3)2−4k≥0，
解得k≤94；
(2)满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2−3x+k=0变形为方程x2−3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程(m−1)x2+x+m−3=0得m−1+1+m−3=0，解得m=32；
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程(m−1)x2+x+m−3=0得4(m−1)+2+m−3=0，解得m=1，而m−1≠0，不符合题意，舍去，
所以m的值为32．
【解析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(−3)2−4k≥0，然后解不等式即可；
(2)先确定k=2，再解方程x2−3x+2=0，解得x1=1，x2=2，然后分别把x=1和x=2代入一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0可得到满足条件的m的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
20.【答案】解：(1)如图，以CB所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，

由题意得，E(0,10)，A(−8,6)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
代入可得c=1064a+c=6，解得a=−116c=10，
∴y=−116x2+10；
(2)依题意可得−116x2+10=7.5，
解得x=±2 10，
∴2 10−(−2 10)=4 10(米)，
答：这两根立柱之间的水平距离是4 10米．
【解析】(1)以CB所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；
(2)确定立柱的纵坐标，解方程可得答案．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中顶点式求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)2tcm；(5−t)cm；
(2)由题意得：(5−t)2+(2t)2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
(3)存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2.理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30(cm2)，
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30−26=4(cm2)，
(5−t)×2t×12=4，
解得：t1=4(不合题意舍去)，t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．(1)根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
(2)根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；
(3)根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
【解答】
解：(1)∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=(5−t)cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
(2)见答案；
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据题意，每天的销售量为(60−5x)瓶；
每瓶洗手液的利润为(20+x−16)=(4+x)元；
(2)依题意得：(4+x)(60−5x)=300，
整理得：x2−8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6．
答：销售单价应上涨2元或6元；
(3)由题意得：y=(4+x)(60−5x)=−5x2+40x+240=−5(x−4)2+320，
∵−5<0，
∴当x=4时，y最大，最大值为320．
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元．
【解析】(1)设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为(60−5x)瓶，每瓶洗手液的利润为(4+x)元；
(2)利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(3)利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售及每瓶洗手液的利润；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)找准等量关系列出函数解析式．
23.【答案】解：(1)将点B的坐标分别代入两个函数表达式得：
−4+2b=02k−2=0，解得：b=2k=1，
故二次函数和一次函数的表达式分别为：y=−x2+2x，y=x−2；
(2)联立一次函数和二次函数表达式得：−x2+2x=x−2，
解得：x=2或−1，
即点A(−1,−3)，
观察函数图象知，不等式kx−2<−x2+bx的解集为：−1(3)如图，设点N在抛物线上，则|yN−yM|=2，即x−2−(−x2+2x)=±2，
解得：x=0或1或1± 172，

当点M在点A的两侧时，若线段MN与抛物线有公共点，
则−1≤x≤0；
当点M在点B两侧时，若线段MN与抛物线有公共点，
则1≤x≤1+ 172；
综上，线段MN与抛物线有公共点，点M的横坐标m为：−1≤m≤0或1≤m≤1+ 172．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)求出|yN−yM|=2时x的值，再观察函数图象即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．