2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件是必然事件的是( )
A. 四边形内角和是360°
B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军
C. 掷一枚硬币时，正面朝上
D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
2.点P(2,−3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A. (2,3)B. (−2,−3)C. (−3,2)D. (−2,3)
3.已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
4.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为( )
A. 58B. 1350C. 1332D. 516
5.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I=UR).下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是( )
A. 2
B. −2
C. 1
D. −1
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD.下列说法错误的是( )
A. 直线PQ是AC的垂直平分线
B. CD=12AB
C. DE=12BC
D. S△ADE：S四边形DBCE=1：4
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是( )
A. 65°
B. 115°
C. 130°
D. 140°
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，所有正确结论的序号为( )
①a>0；
②点B的坐标为(6,0)；
③c=3b；
④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A. ①②B. ②③C. ②③④D. ③④
10.如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20.点D从点A出发沿折线A−C−B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E.设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a−b的值为( )
A. 54B. 52C. 50D. 48
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m= ______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8,4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB′，则点B′的坐标为______．
13.点A(1,y1)，B(2,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，则y1 ______y2.(填“>”或“0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围．
23.(本小题11分)
(1)问题背景：如图1，∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC，AD=DE，求证：△ABE∽△ACD；
(2)尝试应用：如图2，将正方形ABCD的边AB，BC绕点A逆时针旋转一定角度，得到线段AE，EF，连接AF交CD于点H，连接BE，CF，若△ABE∽△CFH，求∠BAE的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：点P(2,−3)关于原点对称的点P′的坐标是(−2,3)．
故选：D．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵点P(a,c)在第四象限，
∴a>0，c0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，且k≠0，
解得：k>−25且k≠0；
(2)当k=1时，
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0，
即x2−6x−5=0，
移项得：x2−6x=5，
配方得：x2−6x+9=5+9，
即(x−3)2=14，
直接开平方得：x−3=± 14
解得：x1=3+ 14，x2=3− 14．
【解析】(1)结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
(2)将k=1代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，(1)中需特别注意二次项的系数不为0．
18.【答案】(1)13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率为69=23．
【解析】解：(1)小华选择C项目的概率是13．
故答案为：13．
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率为69=23．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小华、小玲选择不同游玩项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)将点A(1,2)代入y=kx，得：k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
将点A(1,2)代入y=mx，得：m=2，
∴正比例函数的解析式为：y=2x．
(2)解方程组y=2xy=2x，得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
∴点B的坐标为(−1,−2)，
过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵A(1,2)，B(−1,−2)，C(0,n)，
∴AE=BF=1，OC=|n|，
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC=4，
∴12OC⋅AE+12OC⋅BF=4，
即：|n|×1+n×1=8，
∴|n|=4，
∴n=±4，
∴点C的坐标为(0,4)或(0,−4)．
【解析】(1)分别将点A(1,2)反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
(2)先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC=S△AOC+S△BOC=4即可求出点C的坐标．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答(2)时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
20.【答案】72 1−x
【解析】(1)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36°，
∴36°+∠C+∠C=180°，
∴∠C=72°，
∴∠ABC=72°，
由折叠得BE=BC，∠EBD=∠CBD=12∠ABC=12×72°=36°，
∴∠BDE=∠BDC=∠A+∠EBD=36°+36°=72°，
∵AB=AC=1，BE=BC=x，
∴AE=AB−BE=1−x，
故答案为：72，1−x，
(2)证明：由(1)得∠ABC=∠BDC=∠C=72°，∠EBD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，
∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴DCBC=BCAC，
∴BC2=AC⋅DC，
∵AC=1，BC=AD=x，
∴DC=AC−AD=1−x，
∴x2=1−x，
整理得x2+x−1=0，
解得x1= 5−12，x2=− 5−12(不符合题意，舍去)，
∴BC= 5−12，
∴BCAC= 5−121= 5−12．
(1)由AB=AC，得∠ABC=∠C，因为∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，由折叠得BE=BC，∠EBD=∠CBD=12∠ABC=36°，所以∠BDE=∠BDC=∠A+∠EBD=72°，而AB=AC=1，BE=BC=x，则AE=AB−BE=1−x，于是得到问题的答案；
(2)由(1)得∠ABC=∠BDC=∠C=72°，∠EBD=∠A=36°，则BC=BD=AD，由∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，证明△BDC∽△ABC，则DCBC=BCAC，于是得x2=1−x，求得符合题意的x值为 5−12，则BC= 5−12，所以BCAC= 5−12．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，证明△BDC∽△ABC是解题的关键．
21.【答案】解：(1)BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB=∠CAB，
∴∠DAB=∠OBA，
∴AD/​/OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
(2)∵∠D=90°，AC=10，DC=8，
∴AD= AC2−DC2=6，
∵AD/​/OB，
∴OBAD=OCAC，
∴OB6=10−OA10，
∵OA=OB，
∴OB=154，
∴⊙O的半径长为154．
【解析】(1)连接OB，证明AD/​/OB，进而可以解决问题；
(2)利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握切线的判定方法．
22.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+9，
把点A(3,0)代入，得：
9a+9=0，
解得：a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+9；
(2)y=−x2+2bx+b−1=−(x−b)2+b2+b−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=b，顶点坐标为(b,b2+b−1)，
当0