第01讲 计数原理（三大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc178972557" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc178972557 \h 2
\l "_Tc178972558" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc178972558 \h 3
\l "_Tc178972559" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc178972559 \h 4
\l "_Tc178972560" 知识点1：分类加法计数原理 PAGEREF _Tc178972560 \h 4
\l "_Tc178972561" 知识点2：分步乘法计数原理 PAGEREF _Tc178972561 \h 4
\l "_Tc178972562" 知识点3：两个计数原理的综合应用 PAGEREF _Tc178972562 \h 6
\l "_Tc178972563" 题型一：分类加法计数原理的应用 PAGEREF _Tc178972563 \h 6
\l "_Tc178972564" 题型二：分步乘法计数原理的应用 PAGEREF _Tc178972564 \h 9
\l "_Tc178972565" 题型三：两个计数原理的综合应用 PAGEREF _Tc178972565 \h 11
\l "_Tc178972566" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc178972566 \h 15
\l "_Tc178972567" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc178972567 \h 16
\l "_Tc178972568" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc178972568 \h 17
\l "_Tc178972569" 易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻 PAGEREF _Tc178972569 \h 17
\l "_Tc178972570" 答题模板：计数原理的应用 PAGEREF _Tc178972570 \h 18
知识点1：分类加法计数原理
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
【诊断自测】4．已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（ ）
A．24种B．70种C．48种D．50种
【答案】D
【解析】根据题意，分三种情况：
①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包，则有种方式，
②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包，则有种方式，
③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包，则有种方式，
所以承包方式共有种方式.
故选：D
知识点2：分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法．
【诊断自测】14．如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择；
当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择；
当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择；
再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种.
故选：D
知识点3：两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
【诊断自测】1．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
故选：B.

题型一：分类加法计数原理的应用
【典例1-1】（2024·高三·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12B．24C．28D．36
【答案】D
【解析】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，
小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案，
若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，
若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，
再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，
综上，共有种方案.
故选：D
【典例1-2】从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（ ）种.
A．23B．22C．24D．26
【答案】B
【解析】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.
若3人中有2男1女，则不同的选法共有（种）；
若3人中有3男0女，则不同的选法共有（种）.
根据分类计数原理，所有不同的选法共有（种）.
故选：B
【方法技巧】
分类标准的选择
（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
【变式1-1】（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
【答案】B
【解析】①A校去乙地有种；
②A校与另一所学校去丙地有种，
③A校单独去丙地有种，
所以共有种，
故选：B．
【变式1-2】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个
A．44B．45C．54D．55
【答案】B
【解析】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，
十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，
为使个位上的数字小于十位上的数字，
当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；
当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，
较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有.
故满足题意的两位数共有个.
故选：B
【变式1-3】红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（ ）
A．7B．8C．4D．5
【答案】D
【解析】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色，
所以共五种.
故选：D.
【变式1-4】定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．18B．21C．35D．36
【答案】D
【解析】按照百位数字进行分类讨论：
当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种；
当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种；
当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种；
当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种；
总共有种.
故选：D.
【变式1-5】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（ ）
A．480B．24C．14D．18
【答案】B
【解析】采用分类计数原理，有种方法.
故选：B
【变式1-6】书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种B．10种C．19种D．90种
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选 C.
题型二：分步乘法计数原理的应用
【典例2-1】（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种
A．10B．20C．30D．60
【答案】C
【解析】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况，
由分步计数原理得，共有种不同的方法.
故选：C
【典例2-2】编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（ ）
A．12B．16C．81D．256
【答案】C
【解析】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法；
同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法，
由分步乘法计数原理，共有种方法．故C正确.
故选：C.
【方法技巧】
利用分步乘法计数原理解题的策略
（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
【变式2-1】已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ）
A．5B．7C．10D．12
【答案】C
【解析】根据多项式的乘法法则，展开后的项数为，
所以．
故选：C.
【变式2-2】（2024·高三·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ）
A．18种B．48种C．108种D．192种
【答案】D
【解析】因甲不去北京，应该分步完成：
第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；
第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法；
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．
故选：D．
【变式2-3】某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（ ）
A．30240种B．60480种C．120960D．241920种
【答案】C
【解析】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类；
第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻，
分别有种选择，所以共计种；
第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法．
故选：C.
【变式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216B．360C．720D．1080
【答案】D
【解析】根据题意，如图：
分3步进行分析：
①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，
②对于上底，有4种颜色可选，则有，
③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法，
则共有种选法．
故选：D．
【变式2-5】（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，则满足方程的解的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，得，
又，其中都为质数，
所以，
因为x，，所以可能为，，，
所以的取值个数为，
方程的整数解的个数为．
故选：B．
题型三：两个计数原理的综合应用
【典例3-1】（2024·高三·全国·自主招生）展开式共 项.
【答案】286
【解析】可以看作10个相同的小盒子，每个盒子里都4个不同的数，
展开式的每一项都是从10个盒子里取一个数，然后相乘构成的，
若选一个数，能构成不同的项种，
若选2个数，先选2个数有种选法，然后把10个盒子分给这2个数，利用隔板法可得分法为种，故能构成不同的项种，
若选3个数，同理可知能构成不同的项种，
若选4个数，可构成不同的项种，
由分类加法计数原理可得，共有种，
故答案为：286
【典例3-2】（2024·高三·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
【答案】180
【解析】根据题意，可将四位数分成两类：
第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个，
接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，
此时共有个四位数；
第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，
再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数.
根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是.
故答案为：180.
【方法技巧】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．
【变式3-1】用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是 ．
【答案】
【解析】①千位为，个位为，有个；
②千位为，个位为，有个；
③千位为，个位为，有个；
④千位为，个位为，有个；
⑤千位为，个位为，有个；
⑥千位为，百位为，个位为（或），各有个．共个．
接下来有,,,,，，第个数是．
故答案为：3140.
【变式3-2】（2024·高三·上海·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是
【答案】24
【解析】由题意可知，满足指数函数且，
对数函数且的取值只有4个，分别为；
而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是；
而满足幂函数的的取值有6个（全部），
使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即；
由于且互不相等，有三种情况：
第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数，
而幂函数不满足，共有种；
第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数，
而对数函数不满足，共有种；
第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数，
而指数函数不满足，共有种；
第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种；
利用分类加法计数原理可得共有种；
故答案为：24
【变式3-3】从六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有 种．
【答案】
【解析】第一种情况，5个数字没有3时，
0在个位有种方法，
0不在个位有种方法，
共种方法，
第二种情况，有3无0，有种方法，
第三种情况，有3无2，
个位排0，有种方法，
个位不排0，3排首位有种方法，
个位不排0，3不排首位，有种方法，
共有种方法，
第四种情况，有3无4，这种情况和有3无2一样，所以也有种方法，
第五种情况，有3无1，
个位排0，有种方法，
个位不排0，3排首位有种方法，
个位不排0，3不排首位，有种方法，
所以共有种方法，
第六种情况，有3无5，和有3无1的情况一样，所以也是46种情况，
综上可知，共有种方法.
故答案为：
【变式3-4】如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条．
【答案】150
【解析】由题可知，的最短路线必经过两点，
则的最短路线有种，的最短路线有种；
的最短路线有种，的最短路线有种；
因为的最短路线有和，
所以的最短路线有种，
故答案为：150．
1．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48B．18C．24D．36
【答案】D
【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
【答案】D
【解析】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
3．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式 .（结果用数值表示）
【答案】48
【解析】由题意，可分步进行，
第一步，安排公益广告，不同的安排方式有种，
第二步，安排商业广告，不同的安排方式有种，
故总的不同安排方式有种，
故答案为：48
1．2160有多少个不同的正因数？
【解析】由题意，，
则2160的正因数，
因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；
所以2160有个不同的正因数.
2．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
【解析】第一天，每个人均可选，有7种选法；
从第二天至第七天，选出的人只需与前一天不同即可，均有6种选法；
所以符合题意的安排方法共有种.
3．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
【解析】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法；
所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种；
（2）取出两个球正好是两个白球的取法有种；
（3）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，共有种取法；
（4）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
两球全是红球的选法有种，
所以两球的颜色相同的取法有种.
4．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）．
【解析】（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，则共有种方法；
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，因为一个抽屉可放多本书，
①三本书都放入一个抽屉，则只需要一个抽屉，有（种）
②三本书放入两个抽屉，一个抽屉1本，一个抽屉2本，首先从三本书中选出两本书有种，再两份书放到2个抽屉中有种，按照分步乘法计数原理可得有（种）
③三本书放入三个抽屉，则有（种）
最后按照分类加法计数原理可得一共有（种）
5．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？
【解析】（1）让4名同学去选择运动队，每人均有3种选择，
所以不同报法的种数为；
（2）让3个班去选择景点，每个班有5种选择，
所以不同选法的种数是.
6．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
【解析】前3个拨号盘均有10个数字可选，第4个拨号盘有6个数字可选，
所以这4个拨号盘可组成个四位数字号码.
易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻
易错分析：对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解不够深刻导致错误.
【易错题1】某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种B．90种C．100种D．120种
【答案】C
【解析】若恰有1名女生参加，则有种，
若恰有2名女生参加，则有种，
所以共有种不同的选派方式．
故选：C.
【易错题2】有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（ ）
A．135种B．150种C．165种D．270种
【答案】A
【解析】不同的选法种数中，1男2女的选法有：种；
2男1女的选法种数有：种.
所以共有选法：种.
故选：A
答题模板：计数原理的应用
1、模板解决思路
在解决计数原理相关的应用问题时，首要步骤是进行深入的分析，明确在计算之前是需要进行分类讨论还是分步操作.分类时必须确保每一类别独立且完整，无重叠也无遗漏；分步时则需保证每个步骤的连贯性和完整性.随后，根据问题的具体需求，选择恰当的计数原理来进行计算，以确定总的方法数或可能性.
2、模板解决步骤
(1)分类加法计数原理
第一步：将完成一件事情的方案分成若干类.
第二步：求出每一类的方法数.
第三步：将每一类的方法数相加得到结果.
(2)分步乘法计数原理
第一步：将完成一件事的过程分成若干步.
第二步：求出每一步的方法数.
第三步：将每一步的方法数相乘得到结果.
【经典例题1】用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答）
【答案】60
【解析】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择，
然后从剩下的五个数中选两个数进行排列，
故所求为.
故答案为：60.
【经典例题2】已知均为集合中的元素，则对应的所有可能的直线有 条．
【答案】13
【解析】第一类：当取值相同时，，表示1条直线；
第二类：当取值不同时，分两步：第一步，排分母，有4种情况，
第二步，排分子，有3种情况，共计12种情况，且值都不相等，
所以所有可能的直线有条．
故答案为：
考点要求
考题统计
考情分析
（1）分类加法计数原理
（2）分步乘法计数原理
2020年上海卷第10题，5分
2016年上海卷第8题，3分
今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．
复习目标：
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
（2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
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