第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：空间几何体的结构特征
1．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
2．有下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．底面是矩形的平行六面体是长方体
B．棱长相等的直平行六面体是正方体
C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体
3．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆台的所有母线延长不一定交于一点
D．一个多面体至少有3个面
题型二：直观图
4．水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 .
5．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为 .

6．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．D．12
7．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A．B．2C．D．4
题型三：展开图
8．（2024·山西·模拟预测）将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，外弧半径与内弧半径之差为，若该圆台的体积为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2B．4C．D．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
11．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ．
题型四：最短路径问题
12．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 .
13．在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ．
14．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 .
15．如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为
.
题型五：空间几何体的表面积
16．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（ ）
A．B．C． D．
17．（2024·陕西商洛·模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积增加了 .
18．（2024·山东济南·二模）将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 .
题型六：空间几何体的体积
19．（2024·高三·广东·开学考试）高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长，下底边长，侧棱长，则此四棱台的体积为 ．

20．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为 ．
21．（2024·浙江金华·模拟预测）已知梯形满足且，其中，将梯形绕边旋转一周，所得到几何体的体积为 ．
22．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为 ．

23．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在几何体中，，梯形和梯形为等腰梯形，，若几何体的体积为，则 ．

1．（2024·河北·模拟预测）某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4B．C．D．
3．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形，圆锥的底面半径为，圆锥内有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广西·模拟预测）某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为，则该器皿的高为（ ）
A．5cmB．12cmC．15cmD．20cm
5．（2024·河南驻马店·二模）已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）已知圆锥的底面半径r=32，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D．面积的最大值为2
10．（多选题）如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是（ ）

A．该四棱台的体积为1344
B．该四棱台的侧面积为
C．该四棱台外接球的表面积为
D．若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为
11．（多选题）（2024·高三·河南·开学考试）如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则两个球缺的底面面积均为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（2024·贵州贵阳·二模）在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为 .
13．（2024·陕西铜川·三模）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该木楔子的外接球的表面积为 .

14．（2024·吉林·模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 .
15．（2024·陕西渭南·二模）已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为 .
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）

A．24B．26C．28D．30
2．（2023年天津高考数学真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022年新高考天津数学高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．27D．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8B．12C．16D．20
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
10．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
11．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
13．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
15．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
16．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
17．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc174311967" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc174311967 \h 2
\l "_Tc174311968" 题型一：空间几何体的结构特征 PAGEREF _Tc174311968 \h 2
\l "_Tc174311969" 题型二：直观图 PAGEREF _Tc174311969 \h 2
\l "_Tc174311970" 题型三：展开图 PAGEREF _Tc174311970 \h 3
\l "_Tc174311971" 题型四：最短路径问题 PAGEREF _Tc174311971 \h 4
\l "_Tc174311972" 题型五：空间几何体的表面积 PAGEREF _Tc174311972 \h 5
\l "_Tc174311973" 题型六：空间几何体的体积 PAGEREF _Tc174311973 \h 6
\l "_Tc174311974" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc174311974 \h 7
\l "_Tc174311975" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc174311975 \h 11