第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第03讲等比数列及其前n项和九大题型讲义原卷版docx、第03讲等比数列及其前n项和九大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc172472352" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc172472352 \h 2
\l "_Tc172472353" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc172472353 \h 3
\l "_Tc172472354" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc172472354 \h 4
\l "_Tc172472355" 知识点1：等比数列的有关概念 PAGEREF _Tc172472355 \h 4
\l "_Tc172472356" 知识点2：等比数列的有关公式 PAGEREF _Tc172472356 \h 4
\l "_Tc172472357" 知识点3：等比数列的性质 PAGEREF _Tc172472357 \h 5
\l "_Tc172472358" 解题方法总结 PAGEREF _Tc172472358 \h 6
\l "_Tc172472359" 题型一：等比数列的基本运算 PAGEREF _Tc172472359 \h 6
\l "_Tc172472360" 题型二：等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc172472360 \h 7
\l "_Tc172472361" 题型三：等比数列项的性质应用 PAGEREF _Tc172472361 \h 9
\l "_Tc172472362" 题型四：等比数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc172472362 \h 10
\l "_Tc172472363" 题型五：奇偶项求和问题的讨论 PAGEREF _Tc172472363 \h 11
\l "_Tc172472364" 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 PAGEREF _Tc172472364 \h 12
\l "_Tc172472365" 题型七：等比数列的范围与最值问题 PAGEREF _Tc172472365 \h 13
\l "_Tc172472366" 题型八：等比数列的实际应用 PAGEREF _Tc172472366 \h 14
\l "_Tc172472367" 题型九：公共项与插项问题 PAGEREF _Tc172472367 \h 16
\l "_Tc172472368" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc172472368 \h 18
\l "_Tc172472369" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc172472369 \h 19
\l "_Tc172472370" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc172472370 \h 20
\l "_Tc172472371" 易错点：不能灵活运用等比数列的性质 PAGEREF _Tc172472371 \h 20
知识点1：等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．
【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列.
知识点2：等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
【诊断自测】若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
知识点3：等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【诊断自测】在正项等比数列中，，是的两个根，则 .
解题方法总结
（1）若，则．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
（5）为等比数列，若，则成等比数列．
（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
（8）若为正项等比数列，则为等差数列．
（9）若为等差数列，则为等比数列．
（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．

题型一：等比数列的基本运算
【典例1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列的前三项和为28且，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，
【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知等比数列的前三项和为13，，则（ ）
A．81B．243C．27D．729
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ）
A．157B．156C．74D．73
【变式1-4】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的前项和为，则其公比（ ）
A．B．C．D．
题型二：等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2024·河南·三模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，为不等于0的常数，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若成等差数列，则对于任意的正整数，，，是否成等差数列？若成等差数列，请予以证明；若不成等差数列，请说明理由．
【典例2-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.证明：是等比数列；
【方法技巧】
等比数列的判定方法
【变式2-1】（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
【变式2-2】（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)证明是等比数列．
【变式2-3】已知数列和满足， ，.证明：是等比数列，是等差数列.
【变式2-4】已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.设，证明：是等比数列.
【变式2-5】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．
证明：，使得数列成等比数列；
题型三：等比数列项的性质应用
【典例3-1】（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ．
【典例3-2】（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列为正项等比数列，若，，则 ．
【方法技巧】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【变式3-1】在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【变式3-2】若等比数列满足，则等于 ．
【变式3-3】已知等比数列的各项均为正数，且，则 ， ．
【变式3-4】（2024·陕西·模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ．
题型四：等比数列前n项和的性质
【典例4-1】记为等比数列的前n项和，若，，则 ．
【典例4-2】设等比数列的前项和是.已知,，则 .
【方法技巧】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
【变式4-1】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 .
【变式4-2】已知等比数列的前n项和，则 ．
【变式4-3】（2024·高三·江苏苏州·期末）设Sn是等比数列的前n项和，若，则 .
【变式4-4】数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，（m为正偶数），则的值为 ．
题型五：奇偶项求和问题的讨论
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，是数列的前项和，若已知，那么的值为（ ）
A．322B．295C．293D．270
【方法技巧】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
【变式5-1】已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）记为数列的前n项和，当时,．且．
(1)求，；
(2)（i）当n为偶数时，求的通项公式；
（ⅱ）求．
【变式5-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
【变式5-4】已知数列满足，，为参数且.
(1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得数列成等比数列，若存在，求的值，无需证明.
(2)当时，求的前项和；试给出前项和表达式.
题型六：等差数列与等比数列的综合应用
【典例6-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 .
【典例6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 .
【方法技巧】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式6-1】（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= .
【变式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项．
【变式6-3】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 .
【变式6-4】（2024·陕西安康·三模）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
题型七：等比数列的范围与最值问题
【典例7-1】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列中的最大值是D．数列无最大值
【典例7-2】（多选题）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【方法技巧】
等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项。
【变式7-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（多选题）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【变式7-3】（多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
【变式7-4】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【变式7-5】（多选题）（2024·福建三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．当时，最小D．当时，的最小值为4047
题型八：等比数列的实际应用
【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
【典例8-2】（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握等比数列的应用具有实际意义。
【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，……若，则（ ）
A．2B．C．3D．4
【变式8-2】如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）

A．B．
C．D．
题型九：公共项与插项问题
【典例9-1】将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为 ．
【典例9-2】已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 .
【方法技巧】
公共项与插项问题是数列研究中的重要内容，具有广泛的应用背景。
公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数。
插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的修正等方面。
综上所述，公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题，对于深入理解数列的性质和应用具有重要意义。
【变式9-1】已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为 .
【变式9-2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【变式9-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．
【变式9-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足．
(1)求和的通项公式；
(2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和．
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2024年上海秋季高考数学真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
1．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
2．已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
3．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
4．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值．
易错点：不能灵活运用等比数列的性质
易错分析：解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质，以及前n项和的性质，正确运用学过的知识，进行合理计算即可.
【易错题1】在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【易错题2】等比数列中，，，则
考点要求
考题统计
考情分析
（1）等比数列的有关概念
（2）等比数列的通项公式与求和公式
（3）等比数列的性质
2023年甲卷（理）第5题，5分
2023年II卷第8题，5分
2023年乙卷（理）第15题，5分
高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标：
（1）理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）了解等比数列与指数函数的关系．
定义法
若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项公式法
若数列中，且，则是等比数列
通项公式法
若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和公式法
若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列