浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷(解析版)

这是一份浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
复数在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B.
2. 已知三角形中，角A，B，C的对边分别为，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C．
3. 内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意可得.
故选：B.
4. 已知向量，且，则实数=（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，所以，解得.
故选：C.
5. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.
A. 12B. 12
C. 6D.
【答案】D
【解析】因为，由斜二测画法可知，
则，故等腰直角三角形，故，
故矩形的面积为，
所以原图形的面积是.
故选：D.
6. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则，
所以，所以圆锥的高，
圆锥的体积为.
故选：C.
7. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接，
由题意易得是等腰直角三角形，，则，
不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况，
过作，垂足为，则，又，
所以，
显然，当点与点重合时，取得最大值，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，由正弦定理得，
即有，而，则，
又，
由正弦定理､余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若复数满足，则是纯虚数
【答案】AD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C不正确；
对于D，设，则，
，则，解得，故是虚数，故D正确.
故选：AD.
10. 设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】BD
【解析】对于A，，而，
故A选项错误；
对于B，中，若，则，由正弦定理得：，
为的外接圆半径，故，B选项正确；
对于C，由正弦定理，得，
由，则或，C选项错误；
对于D，若，则，即，
得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，
D选项正确.
故选：BD.
11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 正四面体的体积为
B. 正四面体外接球的表面积为
C. 如果点在线段上，则的最小值为
D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】由正四面体各棱都相等，即各面都正三角形，故棱长为2，如下图示，
为底面中心，则共线，为体高，故，
所以，故正四面体的体积为
，A错误；
由题设，外接球球心在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，B正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，
所以且，，
又，而，
要使最小，只需共线，
则，
所以，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，
圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．
12. 平面向量中，已知，，且，则与的夹角为______，向量的坐标为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
又，且，设与的夹角为，
则，解得，
又，所以，即与的夹角为，
所以与共线同向，又，所以为方向上的单位向量，
即.
故答案为： .
13. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】复数满足，即，
即复数对应的点到点的距离满足，
设，表示复数对应的点到点的距离，
数形结合可知的最大值.
故答案为：.
14. 若为的重心，，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】如图，，，
，
，
，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是虚数单位，是的共轭复数.
（1）若，求复数和；
（2）若复数是纯虚数，求实数的值.
解：（1）因为，
由，得.
所以，.
（2）因为是纯虚数，
所以，解得.
16. 已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
解：（1）由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即.
（2）由（1）得，
，
所以，
，，
所以，
所以向量，的夹角为.
17. 如图，AB是圆柱一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，
（1）求该圆柱的表面积；
（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
解：（1）由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，且，
可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为．
（2）由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，
线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，
所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
．
18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求边长的取值范围；
（3）若，求面积的最大值．
解：（1）在中，，
由正弦定理得：，
因为，所以，
所以可化为
，
即．
因为，所以，所以．
因为，所以．
（2）由三角形两边之和大于第三边可得：，即．
由余弦定理得：，即．
由基本不等式可得：，所以即，所以．
综上所述：．
所以边长的取值范围为．
（3）由余弦定理得，
由重要不等式得，当且仅当时取等号，
，
即最大值.
19. 如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．
（1）若，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．
解：（1）由，，故，，则，
，
由，故.
（2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
设，，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
（3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即，
假设存在点H，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在，且.