四川省大学考联盟2024届高三三模联考(文)数学试卷(解析版)

这是一份四川省大学考联盟2024届高三三模联考(文)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数是纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】易知，故，
若是纯虚数，则，解得，故，显然，故B正确.
故选：B.
2. 已知集合 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，解得，令，解得，
显然，故C正确.故选：C.
3. 已知抛物线C: ，则C的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若，则可化为标准形式，故，
故C的准线方程为，故A正确.故选：A.
4. 已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，两边同时平方得，
设夹角为，故，且是单位向量，
故化简可得，，
故，则夹角余弦值为，故D正确.
故选：D
5. 如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得当时，，当时，，
显然是单调递增函数，当时，解得(另一个根舍去)，
当时，解得(另一个根舍去)，故，故B正确.
故选：B
6. 在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）
A. 10B. 13C. 16D. 81
【答案】B
【解析】由等差数列下标和性质得，故，而，
故，且，设公差为，显然，
故，故B正确.故选：B.
7. 已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图，在长方体中，设取为直线，取为平面，
取为直线，满足但，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，即，所以，
所以，，则，
所以曲线上一点处的切线方程为，即.
故选：C.
9. 定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为奇函数，所以，
即，
故的对称中心为，即，
由于函数与的图象关于直线对称，
且关于对称点为，
故的对称中心为.故选：D
10. 在区间上随机取一个数，使直线与函数的图象有两个公共点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线过定点，
函数，即表示以原点为圆心，为半径的上半圆，
由图可知，
要使直线与函数的图象有两个公共点，
则，即，
所以所求概率为.
故选：C.
11. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设
则在上单调递增, 则有即
故，显然，
而，则在上单调递减，
即，故
令，显然，故，而，
令，可得，故在上单调递增，
若，则，综上一定成立，故A正确.
故选：A
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接在和中，
利用角平分线定理可得
由等比定理可得从而.
故椭圆的短轴长为，故B正确.
故选：B
二、填空题
13. 2024年2月，教育部办公厅印发通知，就实施银龄教师支持民办教育行动有关工作进行部署.明确组织遴选一批优秀退休教师，面向各级各类民办学校，特别是民办高校开展支教、支研.某省现有符合条件的退休教师人，随机编号为，现采用系统抽样方法抽取人参加对口支教活动，分组后在第一组随机抽得的编号为，则在第五组中应抽取的编号为______.
【答案】106
【解析】在系统抽样中，首次抽到号，且以后每隔个号抽到下一个人，
故抽到号构成以为首项，以为公差的等差数列，且设该数列为，
故，显然.故答案为：106
14. 已知函数 对任意的，都有，则的最小值为______.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
所以，则，
又因为，所以的最小值为.
故答案为：.
15. 已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为，则正四棱台的体积___
【答案】
【解析】设外接球的半径为，
则，，
设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为，
则在线段上，如图，在等腰梯形中，
，
则，
所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积.
故答案为：.
16. 数列满足，若不等式 恒成立，则正整数的最大值为______.
【答案】35
【解析】由得
由得
两边平方得
则是以1为首项，1为公差的等差数列，即
因为所以那
可得则正整数的最大值为35.
故答案为：35
三、解答题
（一）必考题
17. 为了提高某海洋公园的知名度，吸引更多游客游玩.公园管理团队决定进行自媒体直播，线上与线下同时进行门票销售，助力该海洋公园的发展.团队在前7个月的直播中，门票销售额如下表所示：
对数据进行处理后，得到如下统计量的值（符合线性回归关系）：
参考公式：
（1）根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若直播当月销售额超过12万元，能被相关部门评选为“优秀管理团队”，请预测该团队在直播后的第几个月能被评选为“优秀管理团队”.
解：（1）由题意，
，则
（2）由题意可得
因为，则第10个月能被评选为“优秀管理团队”.
18. 正方体的棱长为2，分别是的中点.
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：连接，因为分别是的中点，
由中位线定理得，又，
所以，所以四点共面，由于是AD的中点，
则且那么四边形为平行四边形，
从而，又面面故面，
（2）解：由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离.
易得，
利用余弦定理得
则
设点到平面的距离，
利用等体积法，
可得，
即点到平面的距离为.
19. 三角形中，角的对边分别为，且 .
（1）求；
（2）若边上的中线长为2，求的最小值.
解：（1）由，
得，即，
所以，即，
又，所以；
（2）设的中点为，
则，
平方得，即，
所以，当且仅当时取等号，
由余弦定理得，
因为，所以，
即的最小值为，当且仅当时取等号.
20. 已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为
（1）求双曲线C的方程；
（2）过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.
（1）解：由题意可得，解得，
从而，
所以双曲线C的方程为；
（2）证明：，直线，
当直线的斜率不为零时，设方程为，
联立，得，
则，所以，
设，
则，
直线的方程为，
令，则，
即，
设直线交轴于点，
由于三点共线，
则，
，
那么，
故
，
当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点，
综上所述，直线QN过x轴上一定点.
21. 已知函数 .
（1）记函数，求函数的极大值点;
（2）记函数，讨论函数的零点个数.
解：（1），
，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
又因为，
则当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为；
（2），
，
①当时，，所以函数在上单调递增，
又，
所以函数只有一个零点，
②当时，令，则，
所以函数在上单调递减，
当时，，
则当时，，即，所以函数在上单调递增，
当时，，即，所以函数在上单调递减，
所以，所以函数只有一个零点，
当时，显然存在唯一的实数上使得，
当时，，即，所以函数在上单调递增，
当时，，即，所以函数在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，，
所以此时函数必有个零点，
综上所述，当或时，函数有个零点；
当且时，函数有个零点.
（二）选考题
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线 C围成的图形的面积.
解：（1）将两边同乘得
,即,
则曲线C的直角坐标方程
（2）曲线C围成的图形如图可见，
利用对称性知曲线C围成的图形的面积等于的图形的面积的4倍.
而的图形是圆心在,半径为的圆在第一象限的部分，
则与y轴交于点,
而的图形的面积等于扇形OAB的面积减去三角形OAB 的面积.
易得且
所以曲线C围成的图形的面积为
[选修4-5:不等式选讲]
23. 已知函数，且的解集为
（1）求的值;
（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意有，解得.
（2）如图，
，结合的图象(虚线)，图象(实线)，
其中为与x轴的交点横坐标，由图知的取值范围为.
时间代码x（单位：月）
1
2
3
4
5
6
7.
销售额y（单位：万元）
0.84
1.37
2.76
4.43
5.49
7.66
8.94
4.5
165.2
140