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    山东省菏泽市2024届高三信息押题卷(二)数学试卷(解析版)

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    山东省菏泽市2024届高三信息押题卷(二)数学试卷(解析版)

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    这是一份山东省菏泽市2024届高三信息押题卷(二)数学试卷(解析版),共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】依题意,,而,
    所以.
    故选:B
    2. 设向量,,若,则实数的值为( )
    A. B. C. 2D. 1
    【答案】D
    【解析】,故,解得.
    故选:D
    3. 已知点为抛物线上一点,且点到抛物线的焦点的距离为3,则( )
    A. B. 1C. 2D. 4
    【答案】C
    【解析】因为抛物线为,
    则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为,
    由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3,
    所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,
    故选:C.
    4. 在△中,“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】若,则或,即或,
    所以在△中,“”是“”的不充分条件
    若,则,则,
    所以在△中,“”是“”的必要条件.
    故选:B.
    5. 过点向圆作两条切线,切点分别为,若,则( )
    A. 或B. 或
    C. 或D. 或
    【答案】D
    【解析】圆的圆心,半径,连接,
    依题意,,则,
    于是,整理得,
    所以或.
    故选:D
    6. 若函数,则函数的值域为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】函数在上单调递增,,
    令,
    而函数在上单调递增,则,
    所以函数的值域为.故选:D.
    7. 随着我国铁路的发展,列车的正点率有了显著的提高.据统计,途经某车站的只有和谐号和复兴号列车,且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍,和谐号的正点率为0.98,复兴号的正点率为0.99,今有一列车未正点到达该站,则该列车为和谐号的概率为( )
    A. 0.2B. 0.5C. 0.6D. 0.8
    【答案】D
    【解析】令事件A:经过的列车为和谐号;事件B,经过的列车为复兴号;事件C,列车未正点到达,
    则,
    于是,
    所以该列车为和谐号的概率为.
    故选:D
    8. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为,体积为,则该正三棱台的外接球表面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】令给定的正三棱台为正三棱台,,
    令正的中心分别为,而,
    则,解得,
    的外接圆半径,的外接圆半径,
    显然正三棱台的外接球球心在直线,设外接球半径为,则,
    因此,解得,
    所以该正三棱台的外接球表面积为.
    故选:C
    二、选择题
    9. 已知复数满足:,,若在复平面内对应的点在第四象限,则以下结论正确的为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BC
    【解析】设复数在复平面内对应的点分别为,为坐标原点,
    则复数在复平面内对应的向量为,且,
    ,,
    所以四边形为菱形,且,
    又,与轴正半轴所成的角为,
    所以与轴正半轴所成的角为,所以与关于轴对称,
    所以,则,所以,故B正确;
    因为,所以,故A错误;
    ,故C正确;
    ,故D错误.
    故选:BC
    10. 已知函数为偶函数,将图象上的所有点向左平移个单位长度,再把图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数的图象,若的图象过点,则( )
    A. 函数的最小正周期为1
    B. 函数图象的一条对称轴为
    C. 函数在上单调递减
    D. 函数在上恰有5个零点
    【答案】AC
    【解析】由函数为偶函数,得,而,则,
    因此,,
    由,得,于,解得,则,
    对于A,函数的最小正周期为,A正确;
    对于B,,函数图象关于不对称,B错误;
    对于C,当时,,而余弦函数在上单调递减,因此函数在上单调递减,C正确;
    对于D,由,得,解得,
    由,解得,因此函数在上恰有6个零点,D错误.故选:AC
    11. 已知函数若,且,则下列关系式一定成立的为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】对于A,若,且,只能,有,
    则,,所以,故A正确;
    对于B,举反例:当时,
    则,,
    此时,故B不正确;
    对于C,易知,且.若,且,则有:
    (ⅰ)当时,有,
    则,,
    且,所以;
    (ⅱ)当时,,
    且,则.
    综上所述:,故C正确;
    对于D,若,则.若,且,分类讨论.
    (ⅰ)当时,有,
    从而,,
    则;
    (ⅱ)当时,则,,
    因为,
    则,从而.
    综合所述:,故D正确.
    故选:ACD.
    三、填空题
    12. 已知变量与的10对观测数据为,且,,若关于的经验回归方程为,则变量的平均值______;______.
    【答案】10 9
    【解析】依题意,,又,则,解得,
    由,得.
    故答案为:10;9
    13. 已知,,,则______.
    【答案】2
    【解析】由,得,
    即,
    整理得,由,得,
    则,,于是,又,
    所以.
    故答案为:2
    14. 已知正项数列的前项和为,且,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】正项数列中,由,得,则,
    即数列是以4为周期周期数列,而,则,
    因此,
    当且仅当时取等号,
    所以的最小值为.故答案为:
    四、解答题
    15. 在中,为边的中点.
    (1)若,,求的长;
    (2)若,,试判断的形状.
    解:(1)依题意,,在中,由正弦定理得,
    即,解得,则,
    在中,由余弦定理得,
    即,所以.
    (2)由,得,在中,,
    在中,,又,两式作商得:
    ,即,则,
    于是或,而,即,
    因此,,所以为非直角的等腰三角形.
    16. 如图,四棱锥中,底面为平行四边形,,,,.
    (1)证明:;
    (2)若,为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
    (1)证明:在中,,
    则,即,
    由平面,得平面,
    又平面,则,又平面,
    于是平面,又平面,则,
    而平面,因此平面,又平面,
    所以.
    (2)解:由(1)知,两两垂直,显然,
    以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图,
    则,
    ,,
    设平面的法向量为,
    则,
    令,得,
    设直线与平面所成的角为,则,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    17. 已知两个盒子中各有一个黑球,一个白球.每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回.记次交换后,盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为.
    (1)求;
    (2)求的数学期望.
    解:(1)依题意,每次交换共有4种情况,其中有2种情况交换后、B盒子中仍为一黑一白两个小球,
    另外2种情况交换后,盒子中有两个黑球或两个白球,再次交换后,B盒子中必为一黑一白两个小球,
    则,,即有,
    因此数列是以为首项,为公比的等比数列,即,
    所以.
    (2)依题意,的可能取值为0,1,2,
    ,,,
    所以.
    18. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,点与点关于原点对称,四边形的面积为4.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若直线与椭圆交于两点.与轴交于点.试判断是否存在,使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
    解:(1)设椭圆的焦距为,依题意,,则,
    四边形为平行四边形,其面积,得,即,
    联立解得,
    所以椭圆的方程为.
    (2)存在.
    由消去得,
    当时,恒成立,
    设,则,


    当,即时,为定值,所以.
    19. 如果三个互不相同的函数,,在区间上恒有或,则称为与在区间上的“分割函数”.
    (1)证明:函数为函数与在上的分割函数;
    (2)若函数为函数与在上的“分割函数”,求实数的取值范围;
    (3)若,且存在实数,使得函数为函数与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
    解:(1)设,则,当时,在上单调递增,
    当时,在单调递减,则在处取得极大值,即为最大值,
    即,则当时,;
    设,则,当时,在上单调递咸,
    当时,在上单调递增,则在处取得极小值,即为最小值,
    即,则当时,,
    于是当时,,
    所以函数为函数与在上的“分割函数”.
    (2)因为函数为函数与在上的“分割函数”,
    则对,恒成立,
    而,于是函数在处切线方程为,
    因此函数的图象在处的切线方程也为,又,
    则,解得,
    于是对恒成立,
    即对恒成立,
    因此,解得,
    所以实数的取值范围是.
    (3)对于函数,
    当和时,,当和时,,
    则为的极小值点,为极大值点,
    函数的图象如图,
    由函数为函数与在区间上的“分割函数”,
    得存在,使得直线与函数的图象相切,
    且切点横坐标,
    此时切线方程为,即,
    设直线与的图象交于点,
    则消去y得,则,
    于是
    令,则,
    当且仅当时,,所以在上单调递减,,
    因此的最大值为,所以的最大值为.

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