数学：山东省菏泽市2024届高考冲刺押题卷（六）试题（解析版）

这是一份数学：山东省菏泽市2024届高考冲刺押题卷（六）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以.故选：A
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以或.故选：C.
3. 已知向量，其中，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，所以，即，
化简得，由得.
故选：B.
4. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
则，解得，
又点是抛物线上位于第一象限的点，则，所以，
所以直线的斜率为.
故选：A
5. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年某国知识付费用户数量(单位:亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法错误的是（ ）
A. 2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加
B. 2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2019年最多
C. 2016年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D. 2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍
【答案】C
【解析】对于A：由图可知，2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；
对于B和C：知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2017年，；
2018年，；2019年，；
2020年，；2021年，；
2022年，；2023年，；
则知识付费用户数量逐年增加量2019年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B正确，C错误；
对于D：由，则2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的倍，故D正确；
综上，说法错误的选项为C.
故选：C
6. 若实数满足，则下列不等式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，令函数，求导得，当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，，即，
而，因此，A正确；
对于B，由，得，则，
显然，否则，，于是，则，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，，即，因此，D正确.
故选：B.
7. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，即，即，
，，
是定义在区间上的奇函数，
，即，
，解得（舍）或，
的定义域为，.
故选：D.
8. 将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体中，圆柱的轴线与正方体体对角线重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，作出正方体的两个全等且平行的正三角形截面，，
则圆柱的两个底面是，的内切圆，
设，正，内切圆的半径为，则，
所以，
而，
所以，
设圆柱的高为，又正方体的体对角线为，
所以，即，
显然当圆柱两底面圆逐渐靠近时，半径越来越大，令，解得，
所以圆柱底面圆半径取值范围是.
故选：C.
二、选择题
9. 将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称
D. 的单调递增区间为
【答案】AB
【解析】，
将的图象向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，
得到，
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，为最大值，
所以的图象关于对称，故B正确；
对于C， ，
所以不是的对称中心，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以单调递增区间为，D错误.
故选：AB.
10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．如图，在堑堵中，，且，过点分别作于点于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 直线AE与平面ABC所成的角为
C.
D. 堑堵的外接球的体积为
【答案】ACD
【解析】对于A，在堑堵中，平面，而平面，
则平面平面，又平面平面，，
平面，因此平面，又四边形为矩形，则四棱锥为“阳马”，A正确；
对于B，显然平面平面，平面，
则是在平面内的射影，
是直线AE与平面所成的角，由，，
得，又，则，B错误；
对于C，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，又，平面，
因此平面，而平面，则，C正确；
对于D，由平面，平面，得，
而，则平面，平面，得，
由选项B知，点为的中点，因此，
则点为堑堵的外接球球心，球半径为，体积为，D正确.故选：ACD.
11. 已知数列满足，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 存在，使得
C. D.
【答案】BD
【解析】，，易知，，
对于A， ，，故A正确；
对于B，，，
，两边开方得，故B错误；
对于C，由B知，，即，
当时，
，
，，
即，当且仅当时等号成立，
，故C正确；
对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立，
当时，
，
，故D错误.
故选：BD.
三、填空题
12. 在的展开式中,常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【解析】在的展开式的通项公式为，
令，求得，故的展开式中的常数项是
故答案为：15.
13. 写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程:________________
①圆心在直线上，②与轴相切．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，可设圆心为，则半径为，
所以圆的标准方程为，
可令，则圆的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，到直线的距离为，且，则________________．
【答案】
【解析】设，则，
则点到直线的距离，
所以，
则
，
即椭圆的离心率为，所以，
设直线、的斜率分别为、，其中、，
所以，
又，
所以，
即，解得（负值已舍去），即，
显然为锐角，所以，
由正弦定理，
所以
.
故答案为：
四、解答题
15. 投壶是古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏.《礼记・投壶》说：“投壶者，主人与客燕饮，讲论才艺之礼也.”春秋战国时期，诸侯宴请宾客时的礼仪之一就是请客人射箭，后来慢慢用投壶代替了射箭，成为一种大众游戏.甲、乙两人做投壶游戏，比赛规则：第1次用抛一枚质地均匀的硬币确定甲、乙谁先投箭，投入壶内继续，未投入壶内换另一人，依次类推.假设甲、乙两人投壶互不影响，甲把箭投入壶内的概率为，乙把箭投入壶内的概率为.
（1）求第2次是乙投的概率；
（2）求两次投完后，甲投中的箭数的分布列和数学期望.
解：（1）设事件“第2次是乙投”，
第2次是乙投的情况有两种：第一次甲投未中，第二次乙投或者第一次乙投中，第二次乙继续投，
因为甲把箭投入壶内的概率为，乙把箭投入壶内的概率为，
所以.
（2）设两次投完后，甲投中的箭数的为，则的所有取值为0，1，2；
，，
，
则的分布列为
故的数学期望为：.
16. 如图，在正四棱锥中，已知平面，点在平面内，点在棱上．
（1）若点是的中点，证明：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
（1）证明：依题意正四棱锥所有棱长均为，又点是的中点，
所以，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：存在，连接，由平面，平面，平面，
则，，又， 可得两两垂直，
分别以所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
假设在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，
设，，由，所以，则，
设平面的一个法向量为，则，
因为，，
所以，令，得，，
因为平面的一个法向量为，
又二面角为锐二面角，
所以，
化简得，解得或（舍），
所以存在点符合题意，点为棱上靠近点的三等分点．
17. 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．
（1）若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；
（2）若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
（3）若“跳动数列”满足，证明：或．
（1）解：因为且，
当时，解得，
当时，所以，
即，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
因为
，
所以位于与之间，所以是“跳动数列”；
（2）解：由 “跳动数列”的定义可知：是“跳动数列”，
若公比为的等比数列是“跳动数列”，
则，
即，所以，
即，解得，
即的取值范围为.
（3）证明：由，可得，
所以
，
则
，
由是“跳动数列”，
可得，
即，
即，
即，
所以，又，
所以，
即，解得或，故命题成立.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调区间;
（2）若，证明:．
（1）解：，
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.
所以在上单调递减，没有单调递增区间.
（2）证明：证明，
只需证：，
即证：，
令，所以，
只需证：，
即证：，
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以当时，，
即，
所以.
19. 已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）点，，，过点一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值.
（1）解：设在第一象限角平分线上，则在第四象限角平分线上，
，，则，，
（若在第三象限角平分线上，则在第二象限角平分线上，则，）
即，
，
，
设，则，，
，
轨迹方程为；
（2）证明：易知直线的斜率一定存在，设，，，
由得，
直线与交于、两点，
，解得且，
，，
，，，
直线，分别交直线于点，，
由得，
同理得，
，
由得，同理可得，
则
为定值.
0
1
2