2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之探索勾股定理

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之探索勾股定理，共15页。

A．16B．15C．13D．12
2．（2023秋•普宁市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．4D．5
3．（2024春•武城县校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
4．（2024春•黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
5．（2024春•永清县校级月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ）
A．35B．7C．5D．7
二．填空题（共5小题）
6．（2024•乌鲁木齐二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 ．
7．（2024•甘州区三模）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 ．
8．（2024春•徐水区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是 ．
9．（2024春•长垣市期中）已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝217，则△ABC的面积为 ．
10．（2024春•新县期末）如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•伊川县期末）如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
12．（2024•甘谷县三模）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
13．（2023秋•衡阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．
14．（2024•秦安县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC．
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
15．（2024春•高安市月考）课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理；
知识应用
（2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积；
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 ．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之探索勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•吴中区校级月考）已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD•CD＝（ ）
A．16B．15C．13D．12
【考点】勾股定理．
【答案】D
【分析】过点A作BC的垂线，利用勾股定理得出AD2＝AE2+DE2，AB2＝AE2+BE2，再由平方差公式得出AD2﹣AB2＝BD•CD，即可得出结果．
【解答】证明：过点A作AE⊥BC于E，如图所示：
∵AB＝AC，
∴BE＝CE（三线合一），
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
∴AD2﹣AB2＝AE2+DE2﹣AE2﹣BE2＝DE2﹣BE2＝（DE+BE）•（DE﹣BE）＝（DE+EC）•BD＝CD•BD
即AD2﹣AB2＝BD•CD，
∴BD•CD＝42﹣22＝12；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、平方差公式；熟练掌握勾股定理和平方差公式是解决问题的关键．
2．（2023秋•普宁市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．4D．5
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】利用勾股定理计算得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AB=AC2+BC2
=32+42
＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
3．（2024春•武城县校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．（2024春•黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
5．（2024春•永清县校级月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ）
A．35B．7C．5D．7
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出斜边的平方，即是阴影部分的面积．
【解答】解：由勾股定理得：直角三角形斜边的平方为：22+(3)2=7，而阴影部分（正方形）面积为斜边的平方，故阴影部分面积为7；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•乌鲁木齐二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 52 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质可知AE是CD的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出DE的长，再利用勾股定理求BE即可．
【解答】解：连接DE，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB=AC2+BC2=5，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE=32，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE=DE2+BD2=(32)2+22=52，
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出DE的长是解题的关键．
7．（2024•甘州区三模）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 6 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理得BC2+AC2＝AB2，BC＝3，则S△ABC=12BC•AC＝6，设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，再由圆的面积公式得S1=π8BC2，S2=π8AC2，S3=π8AB2，然后由S阴影＝S2+S1+S△ABC﹣S3，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC2+AC2＝AB2，BC=AB2−AC2=52−42=3，
∴S△ABC=12BC•AC=12×3×4＝6，
设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，
∵S1=12π•（12BC）2=π8BC2，S2=12π•（12AC）2=π8AC2，S3=12π•（12AB）2=π8AB2，
∴S阴影＝S2+S1+S△ABC﹣S3=π8（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理、圆的面积公式以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键．
8．（2024春•徐水区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是 5 ．
【考点】勾股定理．
【专题】推理填空题；数形结合；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED=AD2−AE2
=32−22
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2024春•长垣市期中）已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝217，则△ABC的面积为 8 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】8．
【分析】由勾股定理得出a2+c2＝68，可求出ac＝16，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，b＝217，
∴a2+c2=(217)2=68，
∵c﹣a＝6，
∴c2﹣2ac+a2＝36，
∴ac＝16，
∴S△ABC=12ac=12×16=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出ac＝16是解题的关键．
10．（2024春•新县期末）如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 17 ．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长．
【解答】解：∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=82+(8+7)2=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长并熟悉勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•伊川县期末）如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先，在直角△ABO中，利用勾股定理求得AO＝5cm；然后在直角△AFO中，由勾股定理求得斜边FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．
【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，
∴AO=BO2+AB2=5cm．
则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO=AO2+AF2=13cm，
∴图中半圆的面积=12π×（FO2）2=12π×1694=169π8（cm2）．
答：图中半圆的面积是169π8cm2．
【点评】本题考查了勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
12．（2024•甘谷县三模）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】滑雪台的长度AB为50米．
【分析】设AB的长为x米，则BC的长为（x﹣2）米，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设AB的长为x米．则BC的长为（x﹣2）米．
∵AC＝14米，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴142+（x﹣2）2＝x2，解得x＝50．
答：滑雪台的长度AB为50米．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
13．（2023秋•衡阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】213．
【分析】由勾股定理可求得CD＝3，再次利用勾股定理即可求AB的长度．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，
在Rt△ACD中，CD=AC2−AD2=52−42=3，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=42+62=213．
故AB的长度为：213．
【点评】本题主要考查勾股定理，解答的关键是熟记勾股定理并灵活运用．
14．（2024•秦安县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC．
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）AB=23．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A，由角平分线的概念得到∠EBA＝∠CBE，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含30°角直角三角形的性质得到BE＝2CE＝2，然后利用勾股定理得到BC=BE2−CE2=3，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵DE的垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠CBE，而∠C＝90°，
又∵∠CBE+∠EBA+∠A+90°＝180°，
∴∠A＝30°．
（2）∵∠CBE＝∠ABE＝∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝1，
∴BE＝2CE＝2，
∴BC=BE2−CE2=3，
∴AB=2BC=23．
【点评】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．（2024春•高安市月考）课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理；
知识应用
（2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积；
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 13cm ．
【考点】勾股定理的证明；列代数式．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）13cm．
【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法＝四个直角三角形的面积+小正方形的面积，列式证明即可；
（2）先根据勾股定理求出a＝9，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【解答】（1）证明：∵大正方形的面积＝四个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴c2=(b−a)2+4×12ab
＝b2﹣2ab+a2+2ab
＝b2+a2，
∴a2+b2＝c2．
（2）解：由勾股定理得a=c2−b2=152−122=9，
∴小正方形的面积S＝（12﹣9）2＝9．
（3）解：∵大正方形的面积为：32+22＝9+4＝13（cm2），
∴大正方形的边长：13cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．