四川省成都市锦江区2023_2024学年高三数学上学期入学考试理科试题含解析

这是一份四川省成都市锦江区2023_2024学年高三数学上学期入学考试理科试题含解析，共21页。试卷主要包含了 已知全集，，则， 剪， 奇函数f等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得中有元素，1，3，5，且1，3，5不在集合B内可排除选项B,D，讨论元素0即可得出结论.
【详解】由得元素1，3，5不在集合B内.若元素0不在集合B内，则由得元素0在集合A内，则，与题意不符，所以元素0在集合B内，同理可得元素2，4，6也在集合B内，所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了交集、补集、并集和全集的概念和运算，属于基础题.
2. 已知复数z满足，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为,所以，所以的共轭复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
3. 在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出，即可求出结果.
【详解】因为是等差数列，，
令数列的公差为，
所以，，
则，
所以，
则直线的斜率为.
故选：A
4. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（）
A. 直线过圆心B. 直线与圆相交，但不过圆心
C. 直线与圆相切D. 直线与圆无公共点
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答.
【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，
依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，
而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上，
所以直线l与圆相交，过圆心.
故选：A
5. 剪（折）纸是幼儿园大班儿童的必修课，通过剪（折）纸，可以培养儿童的动手能力和热爱劳动的优秀品质以及对艺术作品的欣赏能力．通过对正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片进行简单的裁前、折叠可以制作出三叶风车、四叶风车、五叶风车、六叶风车．如图（1）是一个五叶风车，图（2）是正五边形，若该正五边形的边长为1，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设为正五边形的外接圆圆心，，在中，由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可.
【详解】如图，设为正五边形的外接圆圆心，则，
所以．又，所以在中，
由余弦定理得：，
又，所以
，
故选：D．
6. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则，由题意可得，，根据离心率公式即可求解.
【详解】解：由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为.
故选：D.
7. 奇函数f（x）在R上存在导数，当x＜0时，f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（）
A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】根据当x＜0时，f（x）的结构特征，构造函数，求导得，由当x＜0时，f（x），得在上是减函数，再根据f（x）奇函数，则也是奇函数，在上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数，
所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，将（x2﹣1）f（x）＜0转化为求解.
【详解】设，
所以，
因为当x＜0时，f（x），
即，
所以，
所以在上是减函数.
又因为f（x）奇函数，
所以也是奇函数，
所以在上也是减函数，
又因为函数f（x）在R上存在导数，
所以函数f（x）是连续的，
所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，
所以（x2﹣1）f（x）＜0或
解得或
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
8. 在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】甲乙二人可能在物理、历史两科中选择的一科相同,也可能在化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科中恰有一科相同,由此求解.
【详解】由题,当甲乙二人在物理、历史两科中的选择相同,有种；
当甲乙二人在化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科中恰有一科相同,则有种；
则共有种,
故选:D
【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,考查分类讨论思想.
9. 已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项ABD，举特殊等比数列排除即可；对于选项C，可分类讨论公比和两种情况证明，从而得解．
【详解】对于选项A，可列举公比的等比数列，
显然满足，但，故A错误；
对于选项B，可列举公比的等比数列，
显然满足，但，故B错误；
对于选项C，因为，即，所以，
当公比时，，故有；
当公比时，，故，，仍然有；
综上：，故C正确；
对于选项D，可列举公比的等比数列，
显然满足，但，故D错误．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为
A. －1B. －
C. D. －
【答案】D
【解析】
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知，解得．因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D．
11. ，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）
①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大；④若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是
A. ①②B. ①②④C. ①④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理判断①；利用线面垂直的判定定理求出异面直线与所成的角，判断②；借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面角逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析可判断③；过作于，按分别为锐角，直角，钝角三种情况进行分析判断即可判断④．
【详解】对于①，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，①正确；
对于②，取中点，连接，如图，则，，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，②正确；
对于③，借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面角逐渐变大时，球心离开平面，但球心在平面内射影仍然是外接圆圆心，故二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径不可能先变小后变大，③错误；
对于④，过作于，若为锐角，则在线段上，若为直角，则与重合，若为钝角，则在线段的延长线上，
若存在某个位置，使得直线与垂直，∵，∴平面，由线面垂直的性质得，
若为直角，则与重合，则，而已知，∴不可能成立，即不可能为直角，
若为钝角，则在线段的延长线上，则在原平面菱形中，为锐角，由于立体图形中，因此立体图形中比原平面图形更小，∴立体图形中为锐角，而，∴空间图形中是锐角三角形，由知在线段上，与在线段的延长线上矛盾，因此不可能为钝角，
综上可知，只能为锐角，即④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查异面直线所成的角，线面平行与线面垂直的判定，多面体外接球问题，考查空间图形折叠问题，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，借助极限状态和反证法思想的运用是解题的关键，综合性较强，属于难题．
12. 内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是（）
A. B. C. D. 上述三个选项都不对
【答案】D
【解析】
【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆的菱形为，，分别求出，再根据，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】解：由，
得，
化为极坐标方程为，
设内接于椭圆的菱形为，则，
设，
则，，
所以
，
当时，取得最大值，即的最大值为，
所以菱形的周长的最大值为，
当时，取得最小值，即的最小值为，
所以菱形的周长的最小值为，
所以内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是.
故选：D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用倾斜角和直线斜率的关系可得的值，再利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】直线的斜率为，
因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，
所以，则
故答案为：.
14. 双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列定义确定关系，由此可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，
所以，即，又，
所以，故，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案：.
15. 如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是___．
【答案】
【解析】
【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.
【详解】展开圆柱的侧面如图所示，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.
故答案为：
16. 在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】逐项分析判断即可，或举例说明或举反例判断或直接证明.
【详解】对于①，令，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；
对于②，取，，直线经过整点，故②错误；
对于③，设直线经过整点，，，
当时，直线方程为，经过无穷多个整点；
当时，则直线斜率，不妨设为，则直线，它经过无数个整点，故③正确；
对于④，当k，b都为有理数时，可能不经过整点，例如，，故④错误；
对于⑤，直线只经过一个整点，故⑤正确.
故答案为：①③⑤
三、解答题（70分，17题10分，其余每题12分）
17. 为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木的高度，垂直放置的标杆的高度，仰角三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：
（1）若测得，试求的值；
（2）经过分析若干测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离（单位：）使与之差较大时，可以提高测量的精确度，.若树木的实际高为，试问为多少时，最大？
【答案】（1）6（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意解三角形即可得出的代数式再利用即可求出．
（2）先分别表示出，再根据两角和公式求得的代数式整理成基本不等式的形式然后根据基本不等式求出该式的最大值进而可得有最大值求出即可．
【详解】（1）解：，同理：．
，故得，
解得：
（2）解：由题设知，得 ，
而，（当且仅当时取等号）
故当时，最大．
因为，则 ，
所以当时，最大．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的实际应用问题，以及两角差的正切公式和基本不等式的应用，其中解答中熟记三角函数的恒等变换的公式，合理使用基本不等式求最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
18. 各项都为正数数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，数列满足，数列的前n项和为，当n为偶数时，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求解的通项；
（2）根据（1）中的数列通项，结合等差数列和等比数列求和公式采用分组求和即可.
【小问1详解】
当时，，即,解得或（负值舍去），
当时，，，
两式相减得：，因为，
所以，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以，
当n为偶数时，
.
19. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值及切线的方程；
（2）证明：．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案.
（2）先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零，所以.
【小问1详解】
，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解之得，
又，所以切线的方程为，
即．
【小问2详解】
由（1）知，，，
令，，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上有唯一实根，且，
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
所以，所以成立．
20. 如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在AD，BC上，且，，沿EF将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线DE上.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线HC与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直，从而线面垂直证明面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.
【小问1详解】
因为点在平面上的射影在直线上，故平面.
又平面，故，
又，，平面，平面，
故平面.
又平面，故平面平面.
【小问2详解】
如图所示：
以为轴，平面内与垂直的直线为轴，平面内与垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系.则，，，设，
则，
故，，
取正解，得到，，故.
，故，又，
设平面的法向量为，故，即，
取，得到，故.
又，，所以，
所以直线HC与平面所成角的正弦值为.
故直线HC与平面所成角的正弦值为.
21. 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数；
（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
①求这2000为参与人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.
参考公式即数据（i）回归方程：，其中，
（ii）
（iii）若随机变量服从正态分布，则，，
【答案】(1)；2百万 (2) 3.5；1.7① ②4.8千元
【解析】
【分析】（1）分别求得和，求得回归方程，再取求得预测值；
（2）分别利用表中数据求得的平均值和样本方差，再利用正态分布求得，求得，从而预测出最低价.
【详解】解:(1)由题意,得,
回归直线方程为
又当时,.
所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万.
(2)①由表中的数据,得
样本方差
②由①可知,且,
则
又所以该商品的最低成交价为4.8千元.
【点睛】本题考查了线性回归方程，以及正态分布的综合应用，属于中档题型，合理理解题意是解题的关键.
22. 如图，设椭圆（a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先联立和，可得，，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）设直线被椭圆截得的线段为，由得，
故，．
因此．
（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（Ⅰ）知，，，
故，
所以．
由于，，得，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是，
所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
由得，所求离心率的取值范围为．
【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．
【思路点睛】（Ⅰ）先联立和，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求得的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份编号t
1
2
3
4
5
参与人数（百万人）
05
0.6
1
1.4
1.7
报价区间(千元)
频数
200
600
600
300
200
100