四川省成都市某校2023_2024学年高三数学上学期期中文试题含解析

这是一份四川省成都市某校2023_2024学年高三数学上学期期中文试题含解析，共17页。试卷主要包含了 已知，集合，，则， 已知复数， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解绝对值不等式求出集合，然后求其补集，再根据交集定义进行计算.
【详解】因为或}，
所以，又
所以.
故选：D.
2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数乘法运算化简可得.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：B
3. 已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；
【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以
又因为
所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为
故选：C
【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.
4. 在递增等比数列中，，，则公比q( )
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】用等比中项求出，再用等比的通项公式求出q.
【详解】因为是递增等比数列，由等比中项可知
所以，
，
因为是递增数列，所以，
故选：C
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.
【详解】由题意得，
，
故选：C.
6. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（）
（，）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，再根据条件计算即可.
【详解】根据题意有：，
∴.
故选：C.
7. 如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过图像观察y轴左右两侧的图像特点，代入数值判断，以及考虑函数的奇偶性来判断函数是偶函数，定义域等特点，关于选项D，要考虑函数,以及函数值恒为正等函数的相关信息来解题.
【详解】A选项，，当时，，不符合；
B选项，为偶函数，其图象关于轴对称，不符合；
C选项，的定义域为，不符合.
故选：D.
【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，以及常见函数的特点是解决这类问题的关键.
8. 已知，则（）
AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
9. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
由对称性，不妨取，即．
圆圆心坐标为，半径为，
则圆心到渐近线的距离，
，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
10. 在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】A
【解析】
【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
设的中点为，则，则，
所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.
故选：A
11. 已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知直线l过抛物线的焦点，得m=-k，过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′由∠M′MN与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠M′MN，即可求得k的值，进而得m．
【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），因为所以直线l：y=kx+m过抛物线的焦点，所以m=-k,
过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′，
由抛物线的定义，丨MM′丨=丨MF丨，
由∠M′MN与直线l倾斜角相等，由，
则cs∠M′MN=，则tan∠M′MN=±，因为
∴直线l的斜率k=，即m=-
故选B．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义和同角三角函数的关系，属于中档题．
12. 已知、，定义运算“”： ，设函数，. 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义得出的解析式，作出函数的图象得出答案．
【详解】解：若﹣≤1，则，解得x，
若﹣＞1，则＞0，则x，
∴f（x），
作出f（x）的函数图象如图所示：
∵y＝f（x）﹣c有两个零点，
∴f（x）＝c有两解，
∴0＜c．
故选A．
【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】26
【解析】
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.
【详解】由已知，所以.
则.
故答案为：.
14. 已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知椭圆为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，建立向量关系，求出点坐标，然后求出直线方程，联立椭圆方程，求出点坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】
由椭圆，得，，
设，
因为，
所以，则，
即，
又因为P为椭圆C上的一点，
所以
联立得，，
所以或，、
①当时，，直线方程为，即，
联立得，
所以，
②当，，直线方程为，即，
联立得，
所以，
综上，,
故答案为：
16. 已知函数，则下列结论正确的有_______．
①是周期函数，且最小正周期为；
②的值域为；
③在区间上为减函数；
④的图象的对称轴为．
【答案】②③
【解析】
【分析】现将函数的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断①；
利用正弦函数的有界性可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用正弦函数的对称轴可判断④.
【详解】，
，，
易知的最小正周期为，故①错误；，，，②正确；当时，，单调递减区间为，再由周期为，故③正确；直线也是图象的对称轴，故④错误．
故答案为：②③
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.
（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.
附：
参考公式：，，，.
【答案】（1）
（2）有
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；
（2）根据已知条件得出列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论.
【小问1详解】
，
则，
，
所以，，
所以关于的经验回归方程为；
【小问2详解】
由题意，得出列联表如下表：
则，
所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
（1）求角B的大小;
（2）若，D为AC的中点，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式可求得，从而得角；
（2）取的中点，在中应用余弦定理求得，从而得，再由三角形面积公式求解．
【小问1详解】
已知，
由正弦定理可得，
又，
，
，，，即，
又，.
【小问2详解】
取的中点，连接，
在中，，，，设，
由余弦定理可得，
，即，或舍，，
的面积为．
19. 已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系计算求通项公式即可；
（2）利用错位相减法计算求和即可.
【小问1详解】
由已知①，可知当时，②，
两式①-②得：，
当时，，符合上式，
所以；
【小问2详解】
令，所以，
故③，
④，
两式③-④得，
即.
20. 如图所示，平面ABC，平面ABC，，，，F为BC的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求凸多面体ABCED体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及三角形的中位线定理，结合平行四边形的性质及线面平行的判定定理；
（2）利用面面垂直的判定定理及性质定理，结合勾股定理的逆定理及棱锥的体积公式即可求解.
【小问1详解】
因为平面ABC，平面ABC，
所以，
取BE的中点G，连接GF，GD，如图所示
则GF为的中位线，
∴，，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴，
又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
【小问2详解】
∵平面ABC，平面ABC，
平面平面ACED，
∵平面ABC，平面ABC，，
∴四边形ACED为梯形，
∵，
∴，
∵平面平面，
∴平面ACED，即AB为四棱锥的高，
∴．
21. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出导数利用求出，即可求出的值；
（2）导函数存在两个不相等的零点，则需要对导函数进行增减性的分析，利用根的存在性定理进行求解即可.
【小问1详解】
由题意，的定义域为，，
因为曲线在点处的切线方程为．
所以，得；
【小问2详解】
因为，存在两个不相等的零点，
所以存在两个不相等的零点，则，
当时，，所以单调递增，至多有一个零点
当时，因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，，
因为存在两个零点，所以，解得，
因为，所以，
因为，所以在上存在一个零点，
因为，所以，
因为，设，则，
因为，所以单调递减，
所以，所以．
所以在上存在一个零点，
综上可知，实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：
求函数的切线方法，
分为两种：一是“过”某点的切线，二是“在”某点的切线.
求“过”某点切线步骤：
一：设切点为；
二：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；
三：利用点斜式书写方程，在代入题设某点即可.
求“在”某点切线步骤：
一：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；
二：利用点斜式书写方程，在代入点即可.
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据参数方程的意义直接转换即可；
（2）把所求面积转换成角度关系，求三角函数的最值即可.
【小问1详解】
直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为，
又故曲线的极坐标方程为
【小问2详解】
解法一：设，直线，
则，
所以，
所以当时，
解法二：由，得的极坐标为．设，
当，即时，．
（个）
1
2
3
4
5
（千万元）
1
1.6
2
2.4
3
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
买
不买
总计
分店一
180
120
300
分店二
150
50
200
总计
330
170
500