天津市第八中2025届高三上学期10月月考数学试题

这是一份天津市第八中2025届高三上学期10月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前填写好自己的姓名、班级等信息
2． 请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题5分，共45分）
1. 已知集合 ，，，则=（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的运算求解即可.
【详解】，
故.
故选：A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．
【详解】由可得，，
则是的必要不充分条件，
故选：B.
3. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得.
【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，
所以命题的否定为“”.
故选：D.
4. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得.
【详解】因函数是减函数，故，
又是增函数，故，
而函数在上是增函数，故，
故得.
故选：A.
6. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. −∞,12C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.
【详解】由得，
所以函数的定义域为
令，则是单调递减函数
又，在上单调递增，在上单调递减
由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.
7. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，故，其中，
，
由，
当且仅当，时等号成立，
此时，满足，
故的最小值为，
故选：D.
8. 已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（ ）
A. B. 2C. D. 98
【答案】B
【解析】
【分析】得到函数的周期，从而利用函数的周期求出.
【详解】函数满足，则函数周期为2，
则
故选：B
9. 已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的单调性与奇偶性直接求解.
【详解】为奇函数，且在单调递减，
，，且在(0,+∞)上单调递减，
可得或或，
即或或，
即，
故选：B.
二、填空题 （每题5分，共30分）
10. 已知集合，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】运用导数的加法和乘法运算法则求解即可.
【详解】，
故答案为：.
12. 已知函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】分段函数求值，由内到外，分别代入对应解析式即可得解.
【详解】因为函数，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可.
【详解】当时，，，不满足题意；
当时，,所以，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
14. 函数的图象在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得切线方程.
【详解】依题意，，
所以函数在点处的切线方程为.
故答案为：
15. 已知函数，且时，，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
因为时，，
由图可知，，
则，
即，所以，所以，
由函数关于对称，可得，
所以，
因为，所以，
即的取值范围为.
故答案：.
【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，是解决本题的关键.
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用对数运算法则即可求得该式的值；
（2）利用幂的运算法则即可求得该式的值.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式．
17. 已知函数．
（1）求；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入直接计算即可；
（2）先化简为，再根据平移可得，由可得，结合余弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
图象向左平移个单位长度，得到的图象，
，
，，
的值域为.
18. 已知函数在处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【小问1详解】
，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以时取极小值，符合题意
所以，．
又，所以．
【小问2详解】
，所以
列表如下：
由于，故时，．
19. 在中，角所对的边分别是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问1详解】
由正弦定理可得，，即，解得：；
【小问2详解】
由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
【小问3详解】
由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
20. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围
（3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义得到处切线的斜率，然后利用垂直列方程求解即可；
（2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，然后分离参数得到，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可；
（3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可.
【小问1详解】
，则，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
【小问2详解】
，则，
在上单调递增，所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以
【小问3详解】
当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，
，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,
所以所以有两个零点，故.0
0,1
1
2
2,3
3
f′x
0
0
1
↗
极大值6
↘
极小值5
↗
10