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    备战2025年高考数学一轮复习综合课件——对数与对数函数

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    备战2025年高考数学一轮复习综合课件——对数与对数函数

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    这是一份备战2025年高考数学一轮复习综合课件——对数与对数函数,文件包含考点10对数与对数函数11类常见考点全归纳精选150题原卷版docx、考点10对数与对数函数11类常见考点全归纳精选150题解析版docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。
    考点10 对数与对数函数11类常见考点全归纳(精选150题) 考点一 对数的运算考点二 换底公式的应用考点三 对数函数的概念考点四 对数型函数的定义域和值域(一)对数型函数的定义域(二)对数型函数的值域(三)根据对数函数的值域求参数值或范围考点五 对数函数的图象及应用(一)判断对数函数图象的形状(二)根据对数型函数图象判断参数的范围(三)对数型函数恒过定点问题(四)对数函数图象应用考点六 对数函数的单调性(一)判断函数的单调性(二)比较对数式的大小(三)解不等式(四)由函数的单调性求参数考点七 对数函数的最值(一)求函数的最值(二)根据最值求参数(三)函数的最值与不等式的综合问题考点八 对数函数的奇偶性(一)判断函数的奇偶性(二)已知函数奇偶性求值(三)由函数的奇偶性求解析式(四)已知函数的奇偶性求参数(五)函数的奇偶性与单调性的综合考点九 反函数考点十 对数函数的综合问题考点十一 对数函数的实际应用 知识点1 对数与对数运算1.对数的概念(1)对数的定义:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①loga1= 0 ;②logaa= 1 (其中a>0且a≠1);③logaab= b (a>0,a≠1,b∈R).(2)对数恒等式alogaN= N (其中a>0且a≠1,N>0).(3)对数的换底公式logbN= eq \f(logaN,logab) (a,b均大于零且不等于1,N>0).(4)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)= logaM+logaN ;②logaeq \f(M,N)= logaM-logaN ;③logaMn= nlogaM (n∈R).知识点2 对数函数的图象与性质1.对数函数的定义、图象和性质2.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 y=logax (a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.归纳拓展1.指数式与对数式互化2.换底公式的两个重要结论①logab=eq \f(1,logba);②logambn=eq \f(n,m)logab.其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R且m≠0.3.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故01与0logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.16、形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域).(2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间;g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间.(3)当底数01.又当x=1时,f(x)=m>0,故m>0.故选:C.54.(2024·河南周口·高三周口恒大中学校考期末)已知函数(且,,为常数)的图象如图,则下列结论正确的是(    )A., B.,C., D.,【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数为减函数,所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴,所以,即又因为函数图象与轴有交点,所以,所以,故选:D55.(2024·全国·高三专题练习)已知函数的图象如图所示,则满足的关系是(   )A. B.C. D.【答案】A【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小.由图易得,;取特殊点,,.选A.(三)对数型函数恒过定点问题56.【多选】(2024·云南怒江·高三校考期末)下列函数的图象过定点的有(    )A. B.C. D.【答案】AD【分析】在每个选项中令,计算函数值,即可判断答案.【详解】根据题意,在每个选项中令,选项A中,,故函数图象过点,A正确.选项B中,,故函数图象不过定点,B错误.选项C中,,,故,故图象不过定点,C错误.选项D中,,故函数图象过点,D正确.故选:AD.57.(2024·云南昆明·高三校考阶段练习)函数且的图象恒过的定点是_____________.【答案】【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为,所以该函数的图象恒过的定点是,故答案为:58.(2024·甘肃酒泉·高一统考期末)已知幂函数在上单调递减,则函数(且)的图象过定点(    )A. B. C. D.【答案】C【详解】因为幂函数在上单调递减,所以,解得,则,(且),因为(且)过定点,所以的图象过定点.故选:C59.(2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知且,若函数与的图象经过同一个定点,则__________.【答案】1【分析】由可得出函数所过定点,再由可得出的值,得出答案.【详解】函数的图象经过定点所以的图象也过定点, 即则,所以故答案为:160.(2024·安徽安庆·校联考模拟预测)已知函数恒过定点,则的最小值为(    ).A. B. C.3 D.【答案】A【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.【详解】由题意可知,则,当且仅当,时,的最小值为,故选:A.61.(2024·高一课时练习)已知正数,,函数(且)的图象过定点A,且点A在直线上,则的最小值为________.【答案】【详解】因为函数,恒过点,所以,代入直线的方程得,其中,,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故答案为: 62.(2024·全国·高三专题练习)已知函数且的图像过定点,且角的终边过点,则(    )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对数型函数过定点求得,利用三角函数的定义求出,再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】因为当时,,所以过定点,由三角函数的定义可得,,,所以,故选:D(四)对数函数图象应用63.(2024·北京·统考模拟预测)已知函数,则不等式的解集为(    )A. B.C. D.【答案】B【分析】将已知不等式化为,在同一坐标系下作出两个函数的图象,可得不等式的解集.【详解】由题意,不等式,即,等价于在上的解,令,,则不等式为,在同一坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,可得不等式的解集为,故选:B64.【多选】(2024·全国·高三专题练习)已知函数,关于的方程有且只有一个实根,则实数的取值可以是(    )A. B. C. D.【答案】BCD【分析】转化为与有且只有交点,作出函数图象,数形结合得到答案.【详解】方程有且只有一个实根,即与有且只有1个交点,作出的图象与的图象,如下:则当时,与有2个交点,当时,与有且只有1个交点,故BCD符合条件故选:BCD65.(2024·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习)已知函数,若函数恰有4个不同的零点,则的取值范围是__________.【答案】【分析】将看做整体,先求出对应的,再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解.【详解】令,得或,画出的大致图象.设,由图可知,当或时,有且仅有1个实根;当或时,有2个实根;当时,有3个实根.则恰有4个不同的零点等价于或或或解得或.故答案为:66.(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试)已知函数.若,且,则的取值范围是(    )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据函数图象得,则,令,利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.【详解】由得.根据函数的图象及,得,,所以.令,根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增,所以.故,故选:C.67.(2024·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数,存在实数满足,则的取值范围是______.【答案】【分析】利用数形结合思想,结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】∵存在,满足,由图像可知,,∴,,∵,∴∴,即,∴∴的取值范围是,故答案为:【点睛】关键点睛:利用数形结合思想是解题的关键.考点六 对数函数的单调性(一)判断函数的单调性68.(2024·上海杨浦·统考二模)下列函数中,既是偶函数,又在区间上严格递减的是(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性,再由指对幂函数的性质判断区间单调性,即可得答案.【详解】由且,故为偶函数,在上递减,A符合;由的定义域为,故为非奇非偶函数,B不符合;由定义域为,又,故为偶函数,在上递增,C不符合;由的定义域为,,故为偶函数,在上递增,D不符合.故选:A69.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,则的单调递增区间为(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域;利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由得:,即的定义域为;,当时,;当时,;的单调递增区间为.故选:A.70.(2024·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末)函数的单调递增区间为(    )A. B. C. D.【答案】D【详解】由,解得:,故函数的定义域是,函数在上单调递增,在上单调递减,而函数在定义域内是单调递减函数,根据复合函数单调性之间的关系可知,函数的单调递增区间是.故选:D71.(2024·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习)函数的单调递增区间为(    )A. B. C. D..【答案】C【详解】由有:,解得或,根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有:函数的单调递增区间为:,故A,B,D错误.故选:C.72.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,若,则此函数的单调递增区间是________.【答案】【分析】先由对数函数的性质求得其定义域,再由推得,从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解.【详解】由题意,令,解得或,故函数的定义域为,,得,令,则,根据复合函数的单调性,即求在定义域内的增区间,由二次函数的性质,的增区间为,所以函数的单调递增区间为.故答案为:.(二)比较对数式的大小73.(2024·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测)已知,则以下结论正确的是(    )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据指对互化,表示,再结合对数函数的单调性,和中间值比较大小,即可判断选项.【详解】,由,即,故,可得,即综上:.故选:D.74.(2024·河南周口·统考模拟预测)若,,,则(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.【详解】 ,对于指数函数 ,当 时, , , ;故选:A.75.(2024·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测)已知,,,则(    )A. B.C. D.【答案】C【分析】由题意可知,用作商法比较的大小,由换底公式可得,从而得答案.【详解】解:因为,,所以,则;,因为,所以,则有.故选:C.76.(2024·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习)设,则的大小关系为(    )A. B.C. D.【答案】B【详解】因为且,,故.故选:B.77.(2024·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系为(    )A. B.C. D.【答案】A【详解】由题意可得,,,又,由于,故,综合可得,故选:A78.(2024·四川内江·统考三模)设,,,则(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用正切函数单调性借助1比较b,c大小;根据对数结构构造函数比较a,b大小,即可解答.【详解】因为在上单调递增,于是,即,令,则,所以在上单调递减,所以,即,取,则,所以,即,所以.故选:A79.【多选】(2024·海南海口·校考模拟预测)已知x,y,z都为正数,且,则(    )A. B. C. D.【答案】ACD【分析】令,利用指对数互化得,,,进而有,应用基本不等式判断A、C,构造且,应用导数研究单调性并判断其符号判断D.【详解】令,则,,,所以,B错误;(注意等号不成立),故,A正确;(注意等号不成立),则,C正确,由,令且,则,由,因为,故,综上,,即在上单调递减,所以,故恒成立,即,D正确.故选:ACD【点睛】关键点点睛:D选项,注意构造且,利用导数研究其函数符号即可.(三)解不等式80.(2024·四川·四川省金堂中学校校联考三模)若集合,则(    )A. B. C. D.【答案】D【分析】先化简集合A,B,再利用交集运算求解.【详解】解:由题意得,,故选:D.81.(2024·全国·高三校联考开学考试)“”成立的一个必要不充分条件为(    )A. B. C. D.【答案】C【详解】由,得,所以选项A是充要条件,选项B是既不充分又不必要条件,选项D是充分不必要条件,选项C是必要不充分条件.故选:C.82.(2024·陕西咸阳·校考一模)已知函数,则不等式的解集为______.【答案】【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】解:当时,,解得,当时,,即,解得,综上,不等式的解集为.故答案为:83.(2024·全国·高三专题练习)已知函数则不等式的解集为______.【答案】【分析】分、和,依次解不等式,再取并集即可.【详解】当时,不等式为,解得;当时,不等式为,易知,解得;当时,不等式为,解得;综上,解集为:.故答案为:.84.(2024·河北·高三学业考试)已知函数,若,则实数的取值范围是__.【答案】【解析】首先判定函数的单调性,然后去掉中的“”,从而可求的范围.【详解】在上单调递增,且,因为或,解得或;故实数的取值范围为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性解不等式,属于常考题.85.(2024·全国·高三对口高考)已知对数函数,且,则关于的不等式的解集为______.【答案】【详解】因为,当时,则有,无解;当时,则有,解得:,所以,则对数函数在上单调递增,又关于x的不等式,所以,解得:,所以关于x的不等式的解集为,故答案为:.(四)由函数的单调性求参数86.(2024·高三课时练习)已知在上是严格减函数,则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】由题意利用复合函数的单调性,结合对数函数和一次函数的性质,求得实数a的取值范围.【详解】已知在上是严格减函数,由,函数在上是严格减函数,所以函数在定义域内是严格增函数,则有,又函数在上最小值,解得,所以实数a的取值范围是.故答案为:87.(2024·四川眉山·高一校考期末)设函数且在区间上是增函数,则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】因为且,所以的定义域为,当时,因为在区间上是增函数,所以在区间上是增函数,因为当时,由对勾函数可得的单调递增区间为,所以,解得;当时,因为在区间上是增函数,所以在区间上是减函数,因为当时,由对勾函数可得的单调递减区间为,所以,解得,与相矛盾,不符合题意.综上所述:实数的取值范围是.故答案为:88.(2024·山东菏泽·高三统考期末)已知函数在上单调递增,则a的取值范围为(    )A. B.C. D.【答案】D【分析】由复合函数单调性及定义域可求解.【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知:函数在上单调递增且在上恒成立,则有,解得,则a的取值范围为.故选:D89.(2024·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是(    )A.(-2,4] B.[-2,4)C. D.【答案】A【分析】根据复合函数的单调性的性质,结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.【详解】函数在区间上单调递减,要使得函数在区间上单调递减,则在区间上单调递增,对称轴为,则.故选:A90.(2024·陕西渭南·高一统考期末)已知在区间上是减函数,则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】解:令,因为在定义域上单调递减,又在区间上是减函数,所以在上单调递增且恒大于零,所以,解得,所以实数的取值范围是.故答案为:91.(2024·全国·高三专题练习)若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】求出函数的定义域,根据复合函数的单调性求出的单调递增区间,然后由集合的包含关系列不等式组即可求解.【详解】由可得,解得,函数是由和复合而成,又对称轴为,开口向下,所以 在上单调递增,在上单调递减,因为为减函数,所以的单调增区间为,因为在区间内单调递增,所以,解得,所以实数的取值范围为,故答案为:.92.(2024·全国·高三专题练习)已知函数对任意两个不相等的实数,都满足不等式,则实数的取值范围为__________.【答案】【详解】由于满足:对任意两个不相等的实数,都满足不等式,所以在区间上单调递增.在上递减;的开口向上,对称轴为,所以,解得,所以的取值范围是.故答案为:93.(2024·全国·高三专题练习)若是定义在上的增函数,实数的取值范围是(    )A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意得,解不等式组可求得答案【详解】因为是定义在上的增函数,所以,解得,故选:B94.(2024·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试)已知函数是定义在上的增函数,则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】∵函数在R上单调递增,∴,即实数a的取值范围是.故答案为:.考点七 对数函数的最值(一)求函数的最值95.(2024·内蒙古乌兰察布·高一校考期末)函数()在上的最大值是(    ).A.0 B.1 C.3 D.a【答案】C【详解】因为,所以该函数是单调递增函数,所以,故选:C96.(2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末)函数,的最大值为______.【答案】-2【详解】因为 ,则,由于 是减函数,所以,故答案为:-297.(2024·高一课时练习)函数的最小值是______.【答案】-2【详解】设,所以,是单调递减函数,所以当时,函数取得最小值,最小值是.故答案为:98.(2024·上海浦东新·统考二模)函数在区间上的最小值为_____________.【答案】.【分析】对函数变形后,利用基本不等式求出最小值.【详解】,因为,所以,故,故,当且仅当,即时,等号成立.故答案为:99.(2024·全国·高三专题练习)函数的最小值为________.【答案】/【分析】利用换元法,结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.【详解】显然,∴,   令,∵x∈,∴t∈[-1,2],则,当且仅当t=-即x=时,有.故答案为:100.(2024·云南昆明·高一昆明一中统考期末)函数的最大值为________.【答案】##【详解】,故当时,.故答案为:.101.(2024·高一课时练习)若(为自然对数),则函数的最小值为(     )A.-3 B.-2 C.0 D.6【答案】B【详解】由题意,所以,则,设,,又,而,所以时,,所以函数的最小值为.故选:B.102.(2024·广西·统考模拟预测)若函数的最小值为m,则函数的最小值为(    )A. B. C. D.【答案】C【分析】由,可得,再根据函数的最小值为m,即可得解.【详解】若,则,因为,所以,因为函数的最小值为m,所以函数的最小值也为m,所以.故选:C.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于说明.(二)根据最值求参数103.【多选】(2024·全国·高三专题练习)已知函数在R上存在最小值,则实数m的可能取值为(    )A. B.0 C.1 D.2【答案】AB【分析】探讨分段函数的单调性,再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.【详解】当时,函数是单调递减的,,,当时,是单调递增的,,,因函数在R上存在最小值,则当且仅当,解得,所以实数m的可能取值为-1,0.故选:AB104.(2024·全国·高三专题练习)若函数(且)在上的最大值为2,最小值为m,函数在上是增函数,则的值是____________.【答案】3【分析】根据对数函数的单调性,分类讨论,再结合已知进行求解得出和的值,最后根据的单调性检验即可得到.【详解】当时,函数是正实数集上的增函数,而函数在上的最大值为,因此有,解得,所以,此时在上是增函数,符合题意,因此;当时,函数是正实数集上的减函数,而函数在上的最大值为,因此有,,所以,此时在上是减函数,不符合题意. 综上所述,,,.故答案为:3.105.(2024·全国·高三专题练习)若函数有最小值,则的取值范围是______.【答案】【分析】分和两种情况讨论,根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组,由此可解出实数的取值范围.【详解】当时,外层函数为减函数,对于内层函数,,则对任意的实数恒成立,由于二次函数有最小值,此时函数没有最小值;当时,外层函数为增函数,对于内层函数,函数有最小值,若使得函数有最小值,则,解得.综上所述,实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法,考查对数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.106.【多选】(2024·四川绵阳·高一统考期末)已知函数(0,且)的定义域为,值域为.若的最小值为,则实数的值可以是(    )A. B. C. D.【答案】BC【详解】函数在上单调递减,在上单调递增,,因为函数在的值域为,则,即,由,得,则有或,当时,,有,当时,,有,令方程的两个根为,如图,因此在上函数取得最小值0,最大值1,且最小时,,于是,解得或,而的最小值为,则有或,解得或,所以实数a的值可以是或,即BC满足,AD不满足.故选:BC(三)函数的最值与不等式的综合问题107.(2024·江苏·高一专题练习)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查数形结合法及恒成立问题.由和图像知:只需且,故实数的取值范围为 .108.(2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】先对进行分类讨论,当时,时,,不符合题意舍去;当时,在单调递增,可求出最大值为,解不等式,即可得出a的取值范围.【详解】由题意可知只需求出的最大值,再解不等式即可,当时,时,由指数,对数函数图像可知,,,所以,则在上恒成立不符,舍去;当时,因为在单调递增,在单调递增,所以在单调递增,即当时,,则,解得,则实数的取值范围为.故答案为:109.(2024·高三课时练习)若在内恒成立,则实数a的取值范围是(    )A. B. C. D.【答案】D【分析】先对不等式变形为,对a进行分类讨论,得到,再画出两函数图象,数形结合求出a的取值范围【详解】由在内恒成立,得在内恒成立,因为在上恒成立,当时,在上单调递减,所以,故舍去,所以可知才能满足.令,,作出两个函数的大致图象如图D-6-24所示.令,得,∴,∴,∴要使在内恒成立,则实数a的取值范围是. 故选:D.110.(2024·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末)若不等式在上恒成立,则实数的取值范围为________.【答案】【详解】解:因为不等式在上恒成立,所以在上恒成立,令,,,则问题转化为在上恒成立,若,此时在上单调递减,,而当时,,显然不合题意;当时,画出两个函数的图象, 要想满足在上恒成立,只需,即,解得.综上:实数的取值范围是.故答案为:111.(2024·全国·高三专题练习)已知函数 (a>0,且a≠1),若在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】当a>1时,f(x)>1等价于8﹣ax>a在[1,2]上恒成立,即a<()min=;当0<a<1时,f(x)>1等价于8﹣ax<a在[1,2]上恒成立,即a>()max=4.由此能求出实数a的取值范围.【详解】当a>1时,f(x)>1等价于8﹣ax>a在[1,2]上恒成立,即a<()min=,∴1<a<;当0<a<1时,f(x)>1等价于8﹣ax<a在[1,2]上恒成立,即a>()max=4(舍去),综上,a的取值范围是(1,).故答案为(1,).【点睛】不等式恒成立问题往往通过“参变分离”转化为函数的最值问题,属于中档题.112.(2024·河北邯郸·高一统考期末)已知函数在区间上的最大值为2,最小值为 .(1)求实数,的值;(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1),令,设,,∵,对称轴为,∴在上单调递增,则 即 解得,∴实数a的值为1,b的值为0.(2)由,得,令,则,,当时,恒成立,即;当时,,令,则只需,由于均为上的单调递增函数,所以,在上单调递增,∴,∴,综上,实数k的取值范围为.113.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,,对任意的,,有恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】函数在,上单调递增,在,上单调递增,∴,,对任意的,,有恒成立,∴,即,解得,∴实数的取值范围是.故答案为:.114.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,,若存在,任意,使得,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】若在上的最大值,在上的最大值,由题设,只需即可.在上,当且仅当时等号成立,由对勾函数的性质:在上递增,故.在上,单调递增,则,所以,可得.故答案为:.考点八 对数函数的奇偶性(一)判断函数的奇偶性115.(2024·高三课时练习)已知函数().(1)求函数的定义域,并判断的奇偶性;(2)用定义证明函数在上是严格增函数;(3)如果当时,函数的值域是,求与的值.【答案】(1) ,是奇函数(2)证明见解析(3),【分析】(1)解即可得函数定义域吗,再根据对数运算,结合奇函数的概念判断即可;(2)结合对数函数单调性,根据函数单调性的定义证明即可;(3)由题知且在上的值域是,进而得且,再解方程即可得答案.【详解】(1)解:令,解得,所以.对任意,,所以函数是奇函数.(2)解:设,且,则.因为,,,所以,得.又,于是,即,所以函数在上是严格增函数.(3)解:由(2)知,函数在上是严格增函数.因为时,的值域是,所以且在上的值域是,因为在上单调递减,所以,且,所以,由,得,解得或(舍去),所以,.(二)已知函数奇偶性求值116.(2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)函数为定义在R上的奇函数,当时,,则______.【答案】【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案【详解】因为函数为定义在R上的奇函数,所以,又,且当时,,所以,故答案为:.117.(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)设函数的图象关于y轴对称,当时,,则的值为______.【答案】【分析】根据题意推得,结合题意和,即可求解.【详解】因为函数的图象关于y轴对称,可得,所以,所以.故答案为:118.(2024·上海黄浦·统考二模)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,.若,则实数a的值为____________.【答案】【分析】根据给定条件,确定,再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.【详解】函数是定义在上的奇函数,且当时,,而,于是,解得,所以实数a的值为.故答案为:119.(2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习)已知函数,若正实数满足,则的最小值为__________.【答案】16【分析】根据题意设,利用函数奇偶性可以得到设,再利用基本不等式即可求出结果.【详解】由函数,设,则的定义域为,,则,所以是奇函数,则,又因为正实数满足,所以,,当且仅当时取到等号.故答案为:16.120.(2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)已知函数在上的最大值与最小值分别为和,则(    )A. B.0 C.2 D.4【答案】C【分析】先考虑函数的奇偶性,然后构造,由为奇函数求出最大值与最小值的和.【详解】已知,,则,函数在定义域内为非奇非偶函数,令,则则在定义域内为奇函数,设的最大值为,则最小值为,则的最大值为,最小值为所以,故选:C.(三)由函数的奇偶性求解析式121.(2024·全国·高三专题练习)已知是奇函数,当时,,则当时,的最小值为________.【答案】1【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式,通过求导求出的单调性即可求出答案.【详解】,,所以,又因为是奇函数,所以,所以当,,,令,所以,则在上单调递减,在上单调递增,所以.所以当时,的最小值为1.故答案为:1.122.(2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试)已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则的解集是__________.【答案】【解析】当时,,所以,因为函数是定义在R上的奇函数,所以,所以当时,,所以,要解不等式,只需或或,解得或或,综上,不等式的解集为.故答案为:.123.(2024·全国·高三专题练习)已知为奇函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【分析】由已知求得时函数的解析式,求出函数的导函数,得到函数在处的导数值,再求出,利用直线方程的斜截式得答案.【详解】解:设,则,又为奇函数,∴,则,∴,又,∴曲线在点处的切线方程是,即切线方程是.故答案为:.(四)已知函数的奇偶性求参数124.(2024·河南周口·高三校考阶段练习)若函数是R上的奇函数,则a的值为_____.【答案】.【解析】由奇函数的定义求解.【详解】∵是奇函数,∴,恒成立,∴,时,的定义域均为,满足题意,故答案为:.【点睛】本题考查函数的奇偶性,掌握奇偶性的定义是解题关键.125.(2024·广东潮州·统考二模)已知函数(其中是自然对数的底数,)是奇函数,则实数的值为______.【答案】【分析】利用奇函数的性质可得出,结合对数运算可得出实数的值.【详解】对于函数,,解得或,所以,函数的定义域为,因为函数为奇函数,则,即,即,解得.故答案为:.126.(2024·全国·高三专题练习)已知函数(其中是自然数,)是奇函数,则实数的值为___________.【答案】【分析】根据对数运算法则化简解析式,确定函数定义域,求解,根据奇函数得,即可求得的值.【详解】解:函数的定义域满足,解得或,即定义域为,所以,因为是奇函数,所以,则,则;故答案为:.127.(2024·内蒙古包头·二模)若是奇函数,则(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.【详解】若是奇函数,可得,则,可得,解得,所以.故选:A.128.(2024·河南开封·高三统考开学考试)已知函数(a,且)是偶函数,则_________,________【答案】 【分析】根据给定条件,利用偶函数的定义,列式求解作答.【详解】因为函数(a,且)是偶函数,则函数对定义域内任意实数恒有成立,即,整理得,,显然不恒为0,因此恒成立,而为常数,则必有为常数,于是得,又,解得,,此时,其定义域为且,,即函数是偶函数,所以,.故答案为:;129.(2024·陕西西安·高三校考阶段练习)若函数是偶函数,则_______,____.【答案】 【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性,即可得出.求出并化简可得,根据偶函数的性质,即可得出恒等式,即可得出.【详解】由可得.当,即时,该不等式解集为.因为函数是偶函数,则由偶函数的性质,可得定义域关于原点对称,所以,所以,定义域为;当,即时,该不等式解集为,不满足题意,舍去;当,即时,该不等式解集为,定义域不关于原点对称,所以函数不是偶函数,舍去.综上所述,.所以.又,由可知,,所以有.因为,所以,所以.故答案为:;.(五)函数的奇偶性与单调性的综合130.(2024·高一课时练习)已知函数是定义域为的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是(    )A. B.C. D.【答案】D【详解】函数是定义域为的偶函数,则,,函数在区间上单调递增,于是得:,解得,所以a的取值范围是.故选:D131.(2024·安徽黄山·统考二模)已知函数,则使不等式成立的的取值范围是(    )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性,即可转化为自变量的大小关系进行求解.【详解】由题意可知:的定义域为或,关于原点对称,由得,故 为偶函数,当时,,由于函数,均为单调递增函数,在单调递增,因此 为上的单调递增函数,所以不等式等价于 ,解得,故选:C132.(2024·高三课时练习)已知函数,若,则实数的取值范围为______.【答案】【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性,利用偶函数的性质以及可得出,利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为,对任意的,,所以,函数为偶函数,当时,,故函数在上为增函数,由可得,所以,,则,所以,,解得.故答案为:.133.(2024·全国·高三专题练习)若函数为奇函数,则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由题意,求出的值,根据函数单调性的性质判断的单调性,利用单调性即可求解.【详解】解:因为函数为R上的奇函数,所以,解得,检验可得此时,函数为R上的奇函数,所以,易知为R上的增函数,所以不等式等价于,所以,解得,所以原不等式的解集为.故答案为:.134.(2024·全国·高三专题练习)设定义域为,已知在上单调递减,是奇函数,则使得不等式成立的取值范围为___________.【答案】【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心,等价于,等价于,即可得到关于x的不等式,求出x的范围.【详解】因为是奇函数,故 图像关于 对称,由题设,因为在上单调递减,所以等价于,因此不等式等价于,即 ,即 且 ,解得取值范围为.故答案为:考点九 反函数135.(2024·全国·高三专题练习)函数的反函数为,则___________.【答案】【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.【详解】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:.136.(2024·全国·高三对口高考)若函数的反函数的图像过点,则实数m的值为_______________.【答案】1【分析】由题意可知函数图像过的点,把点代入函数解析式,可求实数m的值.【详解】函数的反函数的图像过点,所以函数图像过点,则,解得.故答案为:1137.(2024·全国·高三专题练习)若函数与互为反函数,则的单调递减区间是________.【答案】【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性,结合二次函数的性质及复合函数单调性判断,即可知目标函数的单调减区间.【详解】因为与互为反函数,所以在定义域上为增函数,又,在上递减,上递增,综上,在上为减函数.故答案为:.考点十 对数函数的综合问题138.(2024·陕西宝鸡·统考二模)已知函数,则(    )A.在单调递减,在单调递增 B.在单调递减C.的图像关于直线对称 D.有最小值,但无最大值【答案】C【解析】由题意可得函数的定义域为,则,因为在上单调递增,在上单调递减,且在上单调递增,故在上单调递增,在上单调递减,A,B错误;由于,故的图像关于直线对称,C正确;因为在时取得最大值,且在上单调递增,故有最大值,但无最小值,D错误,故选:C139.【多选】(2024·全国·高三专题练习)已知函数,则(    )A.的定义域是 B.有最大值C.不等式的解集是 D.在上单调递增【答案】AB【分析】根据函数解析式,求解函数定义域,利用复合函数单调性求解单调区间及最值,利用单调性解函数不等式。【详解】由题意可得,解得,即的定义域是,则A正确;,因为在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,则B正确;因为在上单调递增,在上单调递减,且,所以不等式的解集是,则C错误;因为在上单调递减,所以D错误.故选:AB.140.【多选】(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)函数,则(    )A.f(x)的定义域为R B.值域为C.为偶函数 D.在区间上是增函数【答案】ACD【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析,从而确定正确答案.【详解】对于函数,由于恒成立,所以的定义域为,A选项正确.,由于,当且仅当时等号成立,所以,B选项错误.由于,所以为偶函数,C选项正确.对于函数,任取,, 由于,所以,所以在区间上递增.当时,令,则在区间上递增,根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数,D选项正确.故选:ACD141.(2024·贵州·高三校联考阶段练习)已知各项均为正数的等比数列满足:,则的值为______.【答案】2【分析】设数列公比为q,由题有,后由对数运算性质及等比数列通项公式可得答案.【详解】设数列公比为q,则,则.故答案为:2142.(2024·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)已知数列的前项和为,若,则(    )A. B. C. D.2023【答案】A【分析】根据与的关系,可推得数列是等比数列,进而得出的表达式,即可求出,代入对数式,根据对数的运算,即可得出答案.【详解】因为,即.当时,,即;当时,,所以,所以.又,所以数列是等比数列,首项为,公比为,所以,所以,所以.故选:A.143.(2024·湖南长沙·高一统考期末)已知(,且).(1)求函数的定义域;(2)当(其中,且为常数)时,是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由;(3)当时,求满足不等式的实数的取值范围.【答案】(1)(2)当时存在最小值,当时,不存在最小值,理由见解析(3)【详解】(1)由可得或,解得,即函数的定义域为.(2)设,则,∵,∴,,∴, ①当时,则在上是减函数,又,∴时,有最小值,且最小值为; ②当时,,则在上是增函数,又,∴时,无最小值.(3)由于的定义域为,定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数.由(2)可知,当时,函数为减函数,由此,不等式等价于,即有,解得,所以x的取值范围是.考点十一 对数函数的实际应用144.(2024·全国·高三专题练习)首位数定理:在进位制中,以数字为首位的数出现的概率为,几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理,则下列结论正确的是(    )(参考数据:,)A.存款金额的首位数字是1的概率约为B.存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%C.存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率D.存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%【答案】D【详解】因此存款金额用十进制计算,故,对于A,存款金额的首位数字是1的概率为,故A错误.对于B,存款金额的首位数字是5的概率为,故不约为9.7%,故B错误.对于C,存款金额的首位数字是6的概率为,存款金额的首位数字是7的概率为,因为,故,故C错误.对于D,存款金额的首位数字是8的概率为,存款金额的首位数字是9的概率为,故存款金额的首位数字是8或9的概率为,故D正确.故选:D.145.(2024·北京·高三专题练习)在声学中,音量被定义为:,其中是音量(单位为dB),是基准声压为,P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明,人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如下图所示,其中240对应的听觉下限阈值为20,1000对应的听觉下限阈值为0,则下列结论正确的是(    )A.音量同为20的声音,30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.D.240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D【分析】对于选项A、B,可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断;对于C、D,通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A, 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20,1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20,所以对比高频更容易被听到,故A错误;对于B,从图像上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故B错误;对于C,240对应的听觉下限阈值为20,,令,此时,故C错误;对于D,1000的听觉下限阈值为0,令,此时,所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍,故D正确.故选:D.146.(2024·河南·校联考模拟预测)我们可以把看作每天的“进步”率都是1%,一年后是;而把看作每天的“落后”率都是1%,一年后是,大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍,则m的值为(参考数据:,)(    )A.100 B.115 C.230 D.345【答案】B【分析】根据指数与对数的联系计算即可.【详解】由题意可得:,两边取常用对数可得,即.故选:B147.(2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末)某企业为了响应落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量(单位:mg/L)与时间(单位:h)之间的关系为(其中,是正常数),已知经过1h,设备可以过滤掉50%的污染物,则过滤掉80%的污染物需要的时间约为(结果精确到0.01h,参考数据:)(    )A.1.53h B.1.60h C.1.75h D.2.33h【答案】D【分析】由给定条件得,进而得,利用指数与对数的关系可得,再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】依题意,,则,设过滤的污染物需要的时间为,则,因此,所以.故选:D148.(2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)2023年1月底,由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国,迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数,表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为,则学习率衰减到以下(不含)所需的训练迭代轮数至少为(    )(参考数据:)A.72 B.74 C.76 D.78【答案】B【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型,根据题意列出不等式,求解即可.【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为,当时,,代入得,,解得,由学习率衰减到以下(不含),得,,,,因为,所以,故G取74,故选:B.149.(2024·全国·高三专题练习)随着社会的发展,人与人的交流变得广泛,信息的拾取、传输和处理变得频繁,这对信息技术的要求越来越高,无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式:,其中D为传输距离,单位是km,F为载波频率,单位是MHz,L为传输损耗(亦称衰减),单位为dB.若载波频率增加了1倍,传输损耗增加了18dB,则传输距离增加了约(参考数据:,)(    )A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍【答案】C【详解】设是变化后的传输损耗,是变化后的载波频率,是变化后的传输距离,则,,,则,即,从而,即传输距离增加了约3倍,故选:C.150.(2024·全国·高三专题练习)十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段记为第一次操作;再将剩下的两个区间分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____.(参考数据:lg 2=0.3010,lg 3=0.4771)【答案】6【详解】设为第n次操作去掉的区间长度和,,第1次操作后剩下两个长度为的闭区间,则第2次操作去掉的区间长度和,第2次操作后剩下4个长度为的闭区间,则第3次操作去掉的区间长度和,如此下去,第次操作后剩下个长度为的闭区间,则第n次操作去掉的区间长度和,显然,数列是等比数列,首项,公式,其前n项和,由得:,,而,则,所以需要操作的次数n的最小值为6.故答案为:6 对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1) logaN 常用对数底数为 10  lg N 自然对数底数为 e  ln N 定义函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数图象a>10<a<1性质定义域: (0,+∞) 值域: (-∞,+∞) 当x=1时,y=0,即过定点 (1,0) 当0<x<1时,y

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    这是一份2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数【课件】,共44页。PPT课件主要包含了课前双基巩固,课堂考点突破等内容,欢迎下载使用。

    §2.8 对数与对数函数 课件-2025高考数学一轮复习:

    这是一份§2.8 对数与对数函数 课件-2025高考数学一轮复习,共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识,logaN=b,lgN,lnN,nlogaM,0+∞,logax,y=x,探究核心题型,所以m=45等内容,欢迎下载使用。

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