2023届湖北省部分学校高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2023届湖北省部分学校高三上学期10月联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省部分学校高三上学期10月联考数学试题 一、单选题1．不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，并注意分母不等于0.【详解】不等式等价于即所以，所以原不等式的解集为.故选:A.2．设集合，，则集合的真子集个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】联立直线和曲线方程，得到两者有两个交点，即集合含有2个元素，进而求出真子集的个数.【详解】联立方程组，解得或，因而集合含有2个元素，其真子集个数为.故选:C.3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由充分条件、必要条件的定义结合对数不等式即可得解.【详解】由可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．如图，正方形的边长为，函数与交于点，函数与交于点，当（    ）时，的值最小.A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据题意将与分别表示出来，然后结合均值不等式即可得到结果.【详解】因为点在函数上，则，点在函数上，则，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，的值最小.故选:B.5． （    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】解：．故选：．6．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B7．已知函数，若，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先构造新函数，判断其函数的奇偶性，再判断其单调性，最后利用这两个性质进行求解即可.【详解】令，，故为奇函数.由函数单调性的性质可知在R上单调递减.因为，所以，即，所以，解得.故选：A【点睛】关键点睛：构造新函数是解题的关键.8．对于某一集合A，若满足a、b、，任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中为三角集的是（    ）A．{x|x是的高的长度} B．C． D．【答案】B【分析】利用特殊三角形判断选项A，解分式不等式即可证明选项B；利用零点分段法解方程，求出选项C所对应集合，再利用特殊值排除选项C；根据对数的性质求出选项D的集合，再利用特殊值排除选项D.【详解】解：对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如下图所示：显然，故、、不满足三角形的三边，故选项A错误；对于B：由，即，解得，任取且，则 ，，又，所以，即选项B成立；对于C：因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，即恒成立，所以；综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项C错误；对于D：因为，所以，解得，所以，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项D错误.故选：B 二、多选题9．对于实数a，b，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若且，则【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，结合特例法、差比法、导数的性质逐一判断即可.【详解】∵∴，∴，故选项A正确；当，，有，但，故选项B错误；∵，，∴，故选项C正确；若，且，∴，且.∴，设，∵，∴在区间上单调递增，∴，即，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：利用导数的性质求函数的值域是解题的关键.10．下列说法正确的是（    ）A．对任意，，都不成立B．存在，，成立C．对任意，成立D．存在，不成立【答案】BD【分析】利用特殊值的思路代入判断即可.【详解】当，时，，所以A错误，B正确；若，式子无意义，所以C错误；若，，所以D正确.故选：BD.11．已知函数，，且，则（    ）A． B．C． D．在上单调递增【答案】AC【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得，与条件可求，由同角关系求，由此判断A，B，再结合正弦函数的性质判断C，D.【详解】，，，因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，，故A正确，B错误；所以，，解得，，又，所以，故C正确；当时，因为，所以，所以在上不单调，故D错误，故选：AC.12．已知曲线与的两条公切线，的倾斜角分别为，，，交于点Q，且，的夹角为，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．若，则 D．点Q可能在第三象限【答案】ABC【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.【详解】解：如图，因为与互为反函数，故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，故，，故A正确；由题意，，均为锐角，，，，当且仅当，即时取等号，故B正确；设与两个函数图象分别切于，两点，，则，即，解得或（舍去），故，对于，则，令，解得，所以切点为，所以曲线的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，同理可得的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，所以，则，则，故C正确；由图可知点必在第一象限，故D错误.故选：ABC. 三、填空题13．已知点是角其终边上一点，若，则______【答案】【分析】由任意角的三角函数的定义求得的值，即可求得sinθ的值．【详解】|OP|，由cos，解得t＝±．∴sin，故答案为：.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，是基础题．14．已知，使关于x的方程有解，则______________.【答案】，使关于x的方程无解【分析】根据存在命题的否定进行求解即可.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得，使关于x的方程无解.故答案为：，使关于x的方程无解15．函数的一个单调减区间为_______________.（答案不唯一）【答案】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切两角差公式、正切型函数的单调性进行求解即可.【详解】，令，则，所以函数的一个单调减区间为.故答案为：16．已知，则的最小值为_____________.【答案】12【分析】本题利用两次基本不等式，第一次将字母a看作常数，利用基本不等式求得分母 ，第二次根据基本不等式求得结果.【详解】根据题意，由可得，所以利用基本不等式可得：当且仅当，时取“=”，即，时“=”成立，所以的最小值为12.故答案为：12. 四、解答题17．设函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据二次不等式的方法，因式分解求解即可；（2）参变分离可得在上恒成立，再根据基本不等式求解即可.【详解】(1)当时，，即，整理，得，解得.故所求不等式的解集为.(2)对恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即.又（当且仅当即时，取“=”）.所以.故实数a的取值范围为.18．已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．【详解】（1）因为，所以又因为，所以所以（2）因为，所以所以【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．19．已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若中有一个为真命题，一个为假命题，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，则可知在区间上恒成立，参变分离即可将恒成立问题转化为最值问题，然后利用二次函数的单调性即可求出其最值，则可求出实数的取值范围.（2）由题意知分两种“真，假”或“假，真”，分别求出实数的取值范围再取并集即可.【详解】(1)因为，所以.又据题意知，当函数在区间.上单调递减时，对成立，对成立.又当时，，所以，即所求实数的取值范围为.(2)据题设知“真，假”或“假，真”，据题设知，若为真命题，则，且，所以，（i）当“真，假”时，，此时不等式无解；（ii）当“假，真”时，，所以或.综上，所求实数的取值范围为.20．已知函数是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称.(1)求证：是周期为4的周期函数；(2)若，求时，函数的解析式.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据函数的图像关于直线对称，及函数的奇偶性，结合函数周期性的定义，即可证明.（2）由（1）中函数是周期为的函数，结合函数的奇偶性，即可求得解析式.【详解】(1)证明：由函数的图像关于直线对称，有，即有，又函数是定义在上的奇函数，有，故，从而，即是周期为4的周期函数.(2)当时，，，由函数是定义在上的奇函数，有，故时，.由，得，，由（1）得，从而，时，函数的解析式为.21．已知函数的图象经过点.(1)若的最小正周期为，求的解析式；(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.【详解】(1)因为的最小正周期为，所以.因为，所以.因为的图象经过点，所以，，即，.因为，所以.故.(2)因为，，所以直线为图象的对称轴，又的图象经过点.所以①，②，.②-①得，所以因为，，所以，即为正奇数.因为在上单调，所以，即，解得.当时，，. 因为，所以，此时.令，.在上单调递增，在上单调递减，故在上不单调，不符合题意；当时，，.因为，所以，此时.令，.在上单调递减，故在上单调，符合题意；当时，，.因为，所以，此时.令，.在上单调递减，故在上单调，符合题意，综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为22．已知函数，.(1)求函数在上的单调区间；(2)当时，（），求实数a的取值范围.【答案】(1)单调增区间为和；单调减区间为(2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号变化求出函数的单调区间；（2）构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，通过二次求导，通过二阶导数的符号变化逐步判定函数的单调性，进而得到最值进行求解.【详解】(1)依题意，，，令，得或；令，得，故的单调增区间为和，单调减区间为(2)依题意，，等价于恒成立，，令，，则，令，，则，即函数在上单调递增，于是得，，即，则有，，令，，有，即函数在上单调递增，则，，即，从而得，函数在上单调递增，则有，显然当时，，函数的值域为，于是得函数在上的值域为.当时，，函数在上单调递增，因此，，则；当时，则存在，使得，显然函数在上单调递增，即当时，，则函数在上单调递减，当时，，与已知矛盾.所以实数a的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数求函数的单调区间以及解决函数不等式恒成立问题，综合性较强，计算量大，解答时要能熟练应用导数知识判断函数的单调性以及求最值等，解答的关键是将不等式恒成立问题转化为构造新函数，判断函数的单调性、或求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类讨论是经常用到的数学思想方法．