湖北省2024届高三数学上学期10月联考试题含解析

这是一份湖北省2024届高三数学上学期10月联考试题含解析，共24页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知为钝角，，则， 长时间玩手机可能影响视力， 已知椭圆C， 已知函数，则下列结论正确的是， 下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一､选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算．
【详解】，，
，∴.
故选：D．
2. “”是“复数为纯虚数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法法则化简复数，由纯虚数的定义求出的取值，然后由充分必要条件的定义判断．
【详解】为纯虚数的充要条件为
因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件，
故选：A．
3. 公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（）
A. 8B. 12C. 16D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质以及基本量计算可得解.
【详解】由等差数列的性质，，
又，
，
，
，
.
故选：C.
4. 已知为钝角，，则（）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解.
【详解】由为钝角，得，，
所以.
故选：D
5. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，解得，
所以所求近视的概率为.
故选：B
6. 已知均为正数，且，则的最小值为（）
A. 11B. 13C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】，当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
7. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解.
【详解】
由得到，
设，,
在中，由余弦定理得，
，
解得，
为等边三角形，
则在中，，，
又，，
得，解得.
故选：B.
8. 为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于可构造函数，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得，对于，可在同一坐标系下画出函数及的图象，可得，再由不等式性质可知A正确.
【详解】由得且，
构造函数，所以，
易得在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示：
由图可得，
易知函数及交于点，作出函数及的图象如下图所示：
由图知
所以，即，由此可得，即.
故选：A
【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为
B.
C. 是图象的一条对称轴
D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由，故B正确；
，故A错误；
又，由正弦函数的性质可知，是图像的一条对称轴，故C正确；
将的图像向左平移个单位，得，
是奇函数图像关于原点对称，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列命题中，正确的是（）
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. 已知，则
C. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性计算判断A；利用条件概率公式推理判断B；利用相关系数与相关性强弱的关系判断C；根据分层方差和总方差的公式可判断D.
【详解】A选项，由正态曲线的性质可得，根据对称性可知，
则，
，故A正确；
B选项，由得，即，
所以事件A，B相互独立，所以结论正确；
C选项，越接近于1，相关性越强，故C错误；
D选项，设两层的数据分别是和，总体的平均数为，则，又，
，，，
总体方差.故D正确.
故选：ABD.
11. 已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（）
A. 的准线方程是
B. 过的焦点的最短弦长为8
C. 以为直径的圆与准线相离
D. 线段的长为19
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由点在抛物线上，代入抛物线方程得出准线方程；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短；对于C，由重心坐标公式以及焦半径公式进行判断；对于D，由，得出的中点到准线的距离大于得出结果进行判断.
【详解】对于A，由在抛物线上可得抛物线方程为，，准线方程是，故A正确；
对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，把代入，得，所以此时弦长为16，故B错误；
对于C，D，设，又，，由重心的坐标公式得，即，
所以的中点坐标为，
因为不过焦点，所以，的中点到准线的距离为，所以C正确，D错误.
故选：AC.
12. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）
A. 的取值范围是
B. 若与平面所成的角为，则
C. 的最小值为
D. 若三棱锥的外接球表面积为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项的正误，利用线面角的定义可判断B选项的正误;利用的最小值及勾股定理可求出的最小值判断C，利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误;利用锥体的体积公式可判断D选项的正误.
【详解】如图，，
连接，在中，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，故A错误；
连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图，
所以，因为，所以，故B正确；
设在底面的射影为，为中点，连接，
则，又，
则，而，
所以，故，故C正确；
以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图，
则点的坐标满足，可设的坐标为，
由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为，
因为，所以，
解得，故，所以外接球的半径，
所以，故D选项正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式的性质，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，
所以，
二项式的通项公式为，
令，
所以展开式中的系数为，
故答案为：
14. 暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有__________种.
【答案】160
【解析】
【分析】利用间接法求解，即用总的安排方法减去大睿和小涛在同一夏令营的安排方法，可得答案.
【详解】间接法：.
故答案为：160.
15. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的对称性，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
，或，
所以函数在上递减，上递增，
因此当时，
当时，
，显然不满足，
当时，
，
综上所述：不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键是利用导数判断函数的单调性，进而运用分类讨论思想进行求解.
16. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设正四棱锥的底面边长为，求出正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可得出容器的容积V（单位：）关于x（单位：m）的函数关系式，利用基本不等式求解最值.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，则高为，
体积
当且仅当时取等号.
故答案为：.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知分别是的三个内角的对边，且.
（1）求角；
（2）若在边上且，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一为角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果，
（2）由已知可得为中点，则，两边平方化简得，再利用基本不等式可求得，从而可求出面积的最大值.
【小问1详解】
由及正弦定理得
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，得，
【小问2详解】
因为在边上且，
所以为中点，所以，两边平方得
，
因为，所以得到，
由，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）可先证平面，从而得到平面平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量后结合题设中的面面角可求，从而可得的长.
【小问1详解】
平面，平面，
，
为矩形，，
又，平面，
平面，
平面，
，
，为线段的中点，
，
又，平面，
平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设，，
设平面的一个法向量为，
则，，
令，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，，
令，则，
，
平面与平面所成的锐二面角为，
，解得，
，即，
当时，平面与平面所成的锐二面角为.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分和讨论导数的正负，从而判断函数的单调性；
（2）由题意对任意，，可变形为，只要，即对恒成立，即，对恒成立，从而将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求解函数最值即可求得答案.
【小问1详解】
，
①当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得，
由，即在上单调递增，
由，即在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
时，，
，令，
由，在上单调递增，
由，即在上单调递减，
，
，
对成立，
只要，即对恒成立，
，对恒成立，
令，
则，
且在上单调递增，上单调递减，
，
，
20. 已知数列的前项和为，且满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由，得，两式相减化简可得是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出通项公式，
（2）由题意可得，假设存在这样的三项成等比数列，则，结合已知化简可得结论.
【小问1详解】
由①
得时②
①-②得，①中令得，
是以为首项，为公比的等比数列，，
【小问2详解】
假设存在这样的三项成等比数列，
为递增数列，不妨设，
则
则，
成等差数列，
，，
由，得，所以，与题设矛盾
不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.
21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
（1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.
参考公式：（其中为样本容量）
【答案】（1）列联表见解析，能；
（2）（i）；（ii）38.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对即可.
（2）（i）利用条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可；（ii）利用二项分布的概率公式，列出不等式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，该项指标值不小于60的频率为，有（只），
则列联表如下：（单位：只）
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.025.
【小问2详解】
（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件发生的概率分别为，
则，，
所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）依题意，随机变量，
因为最大，显然，且，
因此，
则，，解得，
而整数，所以.
22. 已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为.
（1）求曲线的方程；
（2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设有，得双曲线为，设，应用点线距离公式、共圆、三角形面积公式列方程求参数，即可得双曲线方程；
（2）由共圆得，设，，且，联立双曲线，应用韦达定理列方程求参数t即可.
【小问1详解】
由，又得：，所以渐近线方程为，
则双曲线方程为，即，
设，则到渐近线的距离分别为，
又两渐近线的夹角为，且四点共圆，则或，
的面积，
曲线的方程为：.
【小问2详解】
如图四点共圆，
，
，
设，，
易得，令得：，
当的斜率为0时，不符合题意；
当的斜率不为0时，设，
联立双曲线得，
则，且，即，且，
所以，
由，即，
，
，符合，
综上，.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
100
220
320
没有抗体
40
40
80
合计
140
260
400